Enigme Billard 5 @ Prise2Tete

Vasimolo · #1

Après le jeu , il faut ranger

J’ai construit une petite boîte avec deux plaques de verre coincées entre trois rails , le rail inférieur pouvant basculer et libérer les boules . Les deux plaques sont distantes de 6 cm ( exactement le diamètre d’une boule ) et le rail inférieur devait mesurer 24 cm de façon à permettre l’alignement de quatre boules . Trop pressé de finir j’ai taillé ce rail trop court , il ne fait que 22 cm . Avant de tout casser , j’ai quand même voulu tester l’efficacité de la boîte . J’ai lancé trois premières boules qui se sont posées sur le rail du bas . J’en ai jeté deux autres qui ont constitué un deuxième étage tout en repoussant les boules gauche et droite du premier étage dans les coins . J’ai continué ainsi en jetant boule après boule celle-ci se plaçant étage par étage dans une position parfaitement stable . Quand j’ai balancé la 13ème boule j’ai constaté ( niveau à l’appui ) que les boules 11 , 12 et 13 étaient parfaitement horizontales . J’ai bien sûr recommencé et recommencé avec toujours le même résultat … Du coup j’ai conservé ma boîte miraculeuse .

Mon voisin a trouvé la boîte intéressante et a voulu réaliser la sienne avec un rail un peu plus long ( il a choisi 23 cm ) . Le lendemain il me prévint que ni l’horizontalité ni l’alignement des boules 11 , 12 et 13 n’étaient garantis , que cela dépendait de la position de la boule centrale du premier étage .

Que faut-il penser de tout ça ????

Amusez-vous bien

Vasimolo

Un indice ou plutôt un dessin pour la première boîte ( bien observer les contacts )

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Un deuxième indice ou plutôt un dessin de la deuxième boîte

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kosmogol · #2

C'est horrible

dylasse · #3

Les boules étant numérotées comme sur le dessin, on va rechercher les coordonnées de chacune dans le repère Oxy, en fonction de r, le rayon d’une boule et d la demi-longueur du rail et de x2 la position initiale de la boule 2.

x1 = r-d
y1 = r

x2 variable dans [3r-d ;d-3r]
y2 = r

x3 = d-r
y3 = r

x4 = ½ (x1 + x2) = ½ (x2+r-d) (triangle isocèle à base horizontale 1 2 4)
x5 = ½ (x1 + x2) = ½ (x2+d-r)

Considérons le losange formé par les boules 2,5,7,4 (c’est un losange car 4 cotés égaux à 2r) et appelons C son centre :
xC = ½ (x4+x5) = ½ x2, et aussi xC=1/2 (x2+x7), donc x7 = 2xC – x2 = 0.

Donc la boule 6 est toujours centrée horizontalement et x6 + x8 = 2 x7

Montrons maintenant que les boules 6, 7 et 8 sont alignées.

yC = ½ (y4 + y5) = ½ (y2 + y7), donc y7 = y4 + y5 - y2 = y4 + y5 - r

y4 = ½ (y1 + y6) (triangle isocèle à base verticale), donc y6 = 2y4 – r
De même, y8 = 2 y5 – r.

On a donc : y6 + y8 = 2 y7

Donc la boule 7 est au milieu des boules 6 et 8. Donc 6 et 8 sont symétriques par rapport à 7.

Par construction, les boules 9, 10, 11, 12 et 13 sont les symétriques de 5, 4, 3, 2 et 1 par rapport à la 7, donc 11, 12 et 13 sont alignées horizontalement.

Ce résultat est vrai quelque soit la relation entre r et d (moyennant 3r<d<4r), donc ton voisin a un problème (mauvaise construction de la boîte ou boules de rayons différents) !

Vasimolo · #4

Un petit "up" pour indiquer que le problème peut-être résolu avec un niveau collège et une bonne vue .

Je donnerais bientôt d'autres indices si à part dylasse ( et kosmogol ) personne ne réagit

Vasimolo

dylasse · #5

Oups... aveuglé par mon dessin, je n'ai pas vu que les boules 2 et 3 peuvent être suffisemment écartées pour que la boule 8 soit en contact avec 5 et 3 sans être en contact avec la paroi.

L'écartement maximal de 2 et 3 correspond à la boule 2 collée à 1 : x2 = 3r - d.

x3 = d-r
x5 = (x2+x3)/2 = r

8 ne touche pas à la paroi si x3 - x5 > 2r rac(3)/2 (hauteur du triangle équilatérale (3-5-8)).
donc si d > r (2+rac(3))

Pour r = 3, il faut d > 11,19...

Donc la boîte de largeur 22 ne permet jamais d'avoir cette situation et la boïte de largeur 23 le permet suivant la position de la boule 2.

dhrm77 · #6

C'est pratiquement le même problème que l'entassement maximal de sphères dans un cube, mais en 2D.
Pour la premiere boite:
On observe que la boule du centre est exactement au centre et que la figure est symmetrique par rapport au centre.
On commence par simplifier en fesant loger des points éloigné de 6cm dans une boite de 17cm de large.
On peut poser quelques équations, mais je me pert un peu dans les calculs. Je recommencerais quand je n'aurais plus mal à la tête.
Pour le 2eme dessin, je ne suis pas sur que ce soit optimal.

gabrielduflot · #7

la septieme boule est au centre de la boîte et on peut trouver les 6 autres symétriques par rapport au centre de la 7ème boule et puisque les 3premiere sont alignees les 3 dernieres le seront aussi.

Dans les autres cas la 7eme ne sera pas au centre de la boîte

Vasimolo · #8

Une réponse complète pour reprendre ce qui a été dit :

Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est au milieu de l'hypoténuse donc :

4 est le milieu de [2;6]
5 est le milieu de [2;8]

Le réseau de losanges au centre de la boîte entraîne que :

10 est le milieu de [8;12]
9 est le milieu de [6;12]

et la réciproque de la propriété précédente entraîne que [11;12;13] est horizontal .

Pour la boîte du voisin , il faut remarquer que la largeur de la boîte excède [latex]12+6\sqrt{3}[/latex] , la boule 8 ne touche alors plus nécessairement le bord droit de la boîte et les boules 11 , 12 et 13 peuvent ne plus être alignées .

Merci pour la participation

Vasimolo

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