On peut frappé où l'on veux, après trois rebonds, la balle peut revenir a sa position initiale !

Soit P un point à l'intérieur du cercle de centre O

Si P est au centre du cercle: il y a une infinité de solution en tapant n'importe où sur le cercle

Si P est sur le cercle: il y a deux solutions: il faut former un triangle équilatéral PQR et donc faire taper la boule tel que l'angle POQ=120° et l'angle POR=120°

Si P est à l'intérieur du cercle Soit Q;R et S les points sur le cercle où la boule rebondit

Soient [latex]s_1[/latex] la symétrie d'axe (OQ); [latex]s_R[/latex] la symétrie d'axe (OR) et [latex]s_3[/latex] la symétrie d'axe (OS)

soient [latex]P'=s_1(P)[/latex]; [latex]P''=s_2(P')[/latex] et [latex]P'''=s_2(P'')[/latex]

2 cas: il faut que P=P''' ou que les droites (PQ) et (P'''S) soient confondues

1er cas: P=P'''


Donc il faut que [latex]s_3(s_2(s_1(P)))=P[/latex] ce qui implique que R est le point d'intersection de la demi-droite [PO) avec le cercle et que [latex]RS=RP=RQ [/latex] et donc [latex]S=s_2(Q)[/latex]

Donc S et Q sont les intersections du cercle avec un cercle de centre R et de rayon PR

2ème cas: les droites (PQ) et (P'''S) soient confondues
1er sous cas   
   
tous les points P;P';P'' et P''' sont confondus cela veut dire que les droites (QR);(QS) et (RS) sont aussi confondues cela veut dire que Q;R et S sont les points d'intersection de la droite (PO) avec le cercle

2ème sous cas

on remarque [latex]s_2(RQ)=(RS)[/latex] et donc [latex]s_2(Q)=S et s_2(R)=R[/latex] donc R est l'intersection de la demi-droite [PO) avec le cercle et la droite (RO) est la médiatrice du segment [QS] et bissectice de l'angle SRQ et donc RS=RQ cela veut que la droite (RO) est la médiatrice du segment [PP''']
et de même il faut (SO) soit la médiatrice du [QR] et bissectice de l'angle QSR et que (QO) soit la médiatrice du segment [RS] et bissectice de l'angle RQS ce qui implique le triangle QSR est équilatéral et donc il faut taper la bande pour que l'angle PQO soit égal à 30°

Et donc en tout il y aura 6 cas possibles

Bravo à ceux qui ont trouvé !!!

En effet avec une boule trop proche du centre point de salut et au-delà de R/2 deux solutions fournies par les tangentes au cercle de rayon R/2 ( une seule dans les cas dégénérés R ou R/2 ) .

Le même problème avec deux rebonds seulement appelé problème de Al Hazen est bien plus difficile , je laisse les curieux fouiller sur la toile

Vasimolo