Euh ... ta boîte contient 45 oeufs. N'en voulais tu pas 40 ?

Je pense que c'est la forme du périmètre, à droite, il y a un demi-cercle, à gauche un quart de cercle, en haut et en bas, un huitième de cercle. Mais comment on peut calculer le volume, s'il n'y a pas de "hauteur" ? Parce que là, l'oeuf est plat ...

Une petite précision : la grille n'est qu'une illustration sur la façon de disposer les œufs , celle que va me fournir le pâtissier peut très bien contenir 42 œufs ( 7 X 6 ) ou autre . Le choix de la grille est imposé par la forme des œufs qui ne doivent être ni trop longs ni trop carrés : je vous laisse juges .

Bonne recherche

Vasimolo

Pour répondre aux questions posées :

1°) Oui tous les œufs sont dans le même sens .
2°) Non , il n'y a pas de point anguleux ( une seule tangente aux points de jonction des arcs ) .

Vasimolo

Non Cogito , ce n'est pas tout à fait ce que j'attends

Les œufs doivent avoir une forme d’œuf , ni trop ronds ni trop allongés .

Il me semble que la meilleure façon d'aborder l'énigme est d'essayer de dessiner un œuf et d'observer le rapport entre sa longueur et sa largeur . Ensuite il faudra regarder ce qui se passe pour un nombre d’œufs variant disons entre 40 et 50 .

Pour le moment on est très loin du début de l'approche d'une solution .

N’hésitez pas à poser des questions si le problème reste trop abscons .

Vasimolo

Selon le centre choisi pour les 1/8 de cercle, ces oeufs auront des formes variables, non ? Alors pourquoi s'interroger sur le rapport largeur / longueur ?

Je pense que non, c'est limité par (2+rac(2)) fois le rayon du demi cercle

Je pense que la meilleure est celle qui double le rayon . On a donc des oeufs de rapport longueur/largeur de  1,53 environ contre 1,70 avec un oeuf version perforante.

Dans l'image ci-dessous, l'arc vert représente le quart de cercle, les arcs rouges représentent les huitième de cercle et l'arc bleu le demi-cercle.
[TeX]r[/latex] est le rayon du quart de cercle. Et je pose [latex]R[/latex], le rayon des huitièmes de cercle. Nous avons [latex]r \le R[/latex] (sinon l’œuf a une forme vraiment bizarre).

[latex]A[/latex] est le centre du quart de cercle.
[latex]B[/latex] et [latex]C[/latex] sont les centres des huitièmes de cercles.
[latex]J[/latex] est le centre du demi-cercle.



J'appelle [latex]x[/latex] la longueur [latex]OJ[/latex]. Nous avons [latex]r\le x[/latex].

Dans ce système de coordonnées, nous avons :

[latex]AN=AP=AO = r[/TeX][TeX]CM = CN = BK = BP = R[/TeX][TeX]JA=JB=JC = x-r[/TeX][TeX]A=(r,0) ; J=(x,0) ; C=(x,-(x-r)) ; B=(x,x-r);M=(x,R-(x-r))[/TeX][TeX]JM=JL=JK= R-(x-r)[/TeX]
Ce qui nous intéresse sont les longueurs [latex]OL[/latex] et [latex]MK[/latex].

Nous avons [latex]OL = OJ  + JL = x + R - x + r = R + r[/latex].

Calculons [latex]MK[/latex] en fonction de [latex]r[/latex] et [latex]R[/latex].
    Nous avons d'une part [latex]AC = CN - AN = R - r[/latex].

    D'autre part [latex]AC=\sqrt{(x-r)^2 + (-(x-r))^2} = \sqrt{2}|x-r|=\sqrt{2}(x-r)[/latex]

Ceci nous donne que [latex]R-r = \sqrt{2}(x-r)[/latex] ce qui est équivalent à :
[TeX]\sqrt{2}(R-r) = 2(x-r)[/TeX]
Nous avons donc [latex]MK = JM + JK = 2R - 2(x-r) = 2R - \sqrt{2}(R-r) = (2-\sqrt{2})R + \sqrt{2}r[/latex].

Nous venons donc de calculer OL et MK, ce sont les dimensions de nos cases.

Maintenant on cherche des entiers [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] tels que :

i) [latex]m * OL = n * MK = 20[/latex]

ii) [latex]40\le m*n<50[/latex].

La condition i) nous dit que [latex]OL[/latex] et [latex]MK[/latex] doivent-être rationnels.

Recherchons des solutions dans [latex]\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/latex] :

posons [latex]R = a\sqrt{2} + b[/latex]  et [latex]r = c\sqrt{2} + d[/latex] avec [latex]a,b,c,d[/latex] rationnels.

-[latex]OL[/latex] rationnel nous dit que [latex]R + r = (a+c)\sqrt{2} + (b+d)[/latex] est rationnel et donc [latex]c=-a[/latex].

-[latex]MK[/latex] rationnel nous dit :
[TeX](2-\sqrt{2})R + \sqrt{2}r = (2-\sqrt{2})(a\sqrt{2} + b) + \sqrt{2}(-a\sqrt{2}+d)[/latex]  est rationnel.

autrement dit :

[latex](2a - b + d)\sqrt{2} + (2b-4a)[/latex]  est rationnel.
Nous avons donc la condition : [latex]2a = b - d[/latex] et donc [latex]2b - 4a =2d[/TeX]
Donc finalement on cherche deux rationnels [latex]b, d[/latex] et deux entiers [latex]m,n[/latex] tels que :

i) [latex]m * (b + d) = 20[/latex].
i')[latex] n * (2d) = 20  \leftrightarrow n*d = 10[/latex].
ii) [latex]40\le m*n<50[/latex].

J'appelle [latex]\rho[/latex] le rapport longueur/largeur, on a :
[TeX]\rho = OL/MK = (b+d)/(2d) = (20/m)/(20/n) = n/m[/TeX]
ii) nous dit que [latex]40/m^2 \le \rho < 50/m^2[/latex].


cas 1 : [latex]m = 1[/latex], donc :  [latex]40\le \rho<50[/latex]
         Le rapport longueur/largeur serait donc trop grand pour que les œufs aient une   
         tête d’œufs.

cas 2 : [latex]m = 2[/latex], donc : [latex]10\le\rho<12,5[/latex]
         Le rapport longueur/largeur reste encore trop grand.

cas 3 : [latex]m = 3[/latex], donc : [latex]4,44..\le\rho<5,55..[/latex]
         On va dire que c'est encore trop grand.

cas 4 : [latex]m = 4[/latex], donc : [latex]2,5\le\rho<3,125[/latex]
         Je ne sais pas si c'est encore trop grand, mais je vais le supposer comme ça
         j'aurai 3 cas en moins à étudier.

cas 5 : [latex]m = 5[/latex], donc : [latex]1,6\le\rho<2[/latex]
             ça paraît pas mal.
             * [latex]n=8; d=5/4; b = 11/4; \rho=1,6[/latex]
             * [latex]n=9; d=10/9; b = 26/9; \rho=1,8[/latex]

cas 6 : [latex]m = 6[/latex], donc : [latex]1,11..\le\rho<1,3888[/latex]
              On va dire que [latex]\rho=1,111[/latex] est trop proche de 1 donc l’œuf
              sera trop rond. Par contre :
              * [latex]n=8; d=5/4; b = 25/12; \rho=1,333[/latex] pourrait aller à la limite.

Pour les autres valeurs de [latex]m[/latex], on a un rapport trop petit pour avoir des beaux œufs.

Ce qui fait 3 solutions acceptables :

             * [latex]m=5[/latex] et [latex]n = 8[/latex], alors [latex]d = 5/4[/latex] et [latex]b = 11/4[/latex] comme [latex]a = (b-d)/2[/latex]
               on a [latex]a = 3/4[/latex] ce qui fait donc [latex]R={3\over 4}\sqrt{2} + {11\over 4}[/latex] et [latex]r = -{3\over 4}\sqrt{2}+{5\over 4}[/latex]

             * [latex]m=5[/latex] et [latex]n = 9[/latex], alors [latex]d = 10/9[/latex] et [latex]b = 26/9[/latex] comme [latex]a = (b-d)/2[/latex]
               on a [latex]a = 8/9[/latex] ce qui fait donc [latex]R={8\over 9}\sqrt{2} + {26\over 9}[/latex] et [latex]r = -{8\over 9}\sqrt{2}+{10\over 9}[/latex]

              Ici nous avons un [latex]r < 0[/latex] donc cette solution est rejetée.

            * [latex]m=6[/latex] et [latex]n = 8[/latex], alors [latex]d = 5/4[/latex] et [latex]b = 25/12[/latex] comme [latex]a = (b-d)/2[/latex]
               on a [latex]a = 5/12[/latex] ce qui fait donc [latex]R={5\over 12}\sqrt{2} + {25\over 12}[/latex] et [latex]r = -{5\over 12}\sqrt{2}+{5\over 4}[/latex]

Bon et puis pour avoir une solution unique on va dire que en faite 1,33.. c'est pas un bon rapport. Donc finalement :
[TeX]m=5[/latex] et [latex]n = 8[/latex],  [latex]R={3\over 4}\sqrt{2} + {11\over 4}[/latex] et [latex]r = -{3\over 4}\sqrt{2}+{5\over 4}[/TeX]
Ici je n'ai regardé que les solutions dans [latex]\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/latex], je ne pense pas qu'il y ait des solutions ailleurs, mais si il y en a elle sont trop compliquée à chercher.

Maintenant calculer le volume de l’œuf c'est une autre affaire.

Voilà, j'espère ne pas avoir fait d'erreur de calculs.

Soit un œuf enfermé dans un parallélépipède AxBxB. Soient R1, R2 et R3 les rayons respectifs du quart, des deux huitièmes et du demi cercles et O1, O2 et O3 leurs centres respectifs.
On a les relations: A=(1–V2/2).R1+(V2/2).R2+R3 et: B=2.R3
Par ailleurs: O1O3=O2O3 donne: A=R1+R2
De plus: O1O2²=O1O3²+O2O3² donne: (R2–R1)²=(R2–R3)²+(A–R1–R3)²
d’où: (R2–R1)²=2.(R2–R3)², soit: R2²+2.R2.(R1–2.R3)+2.R3²-R1²=0
d’où: R2=(2+V2).R3–(1+V2).R1, et: A=-V2.R1+(1+V2/2).B
Finalement on a les expressions suivantes de R1, R2 et R3 en fonction de A et B:
R1=(-V2/2).A+(1/2+V2/2).B; R2=(1+V2/2).A-(1/2+V2/2).B et R3=B/2
Il me reste à calculer le volume par la somme de trois intégrales (et de voir comment optimiser ce volume en fonction de A et B), mais je reviendrai plus tard pour cela. J'ai fourni cette étape intermédiaire pour montrer que certains cherchent encore.

L'objectif n'est pas de réaliser le meilleur taux de remplissage mais de poser les œufs dans des cases rectangulaires identiques . D'autre part je ne suis pas sûr qu'on puisse récupérer d'autres tailles de ces rectangles en acceptant un mélange de positions levées ou couchées . Il ne faut pas oublier que le rapport [latex]r=\frac Ll[/latex] est dans l'intervalle [latex][1;1+0,5\sqrt{2}][/latex] , on doit même réduire un peu l'intervalle si on veut une forme raisonnable .

Vasimolo

Certes , on dessine un quadrillage mais on ne l'utilise absolument pas , on pose les œufs à côté . Pourquoi n'y ai-je pas pensé

Plus sérieusement quelqu'un s'est attaqué au volume de l’œuf ?

Vasimolo