Les cas T>B et T=B n'ont été traités complètement par personne.

golgot59 a écrit:

II/ T<B
Cette fois-ci le truand doit viser soit le bon, car si il vise la brute et qu'il le tue, alors il est mort dans la foulée, et de même si il tire en l'air !

S'il tire en l'air, il n'est pas forcément mort si la brute abat le bon...

golgot59 a écrit:

(T-1)(B-1)-B>0

Je ne pense pas que ce soit toujours vrai.

Je n'ai pas suivi le problème ( la solution serait B=3 et T=4 ? ) , ce qui est sûr c'est que si B=T , T doit tirer ( sauf peut-être si P=T=2 ) car il ne sait pas quelle mauvaise idée peut se cacher dans la tête du bon

Vasimolo

Vasimolo a écrit:

Je n'ai pas suivi le problème ( la solution serait B=3 et T=4 ? ) , ce qui est sûr c'est que si B=T , T doit tirer ( sauf peut-être si P=T=2 ) car il ne sait pas quelle mauvaise idée peut se cacher dans la tête du bon

Cette affirmation repose-t-elle sur un calcul ou pas du tout ? Je ne vois rien d'évident sans calcul pour ma part mais peut-être que je passe à côté de quelque chose.

Je suis le truand.

Tout d'abord, je n'ai aucun interet à tirer sur la brute : si je la tue, je me retrouve face au bon qui ne me ratera pas; et inversement pour la brute qui ne tirera pas sur moi.

Je peux donc tirer sur le bon, ou en l'air.
Cas 1 : je tire sur le bon
Cas 1.1 : je le tue, probabilité de 1/T
Alors la brute va me tirer dessus et m'avoir ou me rater, puis ça sera mon tour, etc...
Ma probabilité de victoire au n-ième tour est de (B-1)/BT * ((B-1)(T-1)/BT)^n, autrement dit on se rate n fois mutuellement, puis la brute me rate et je la tue.
Au total, ma probabilité de victoire est donc (B-1)/BT * 1/(1-(B-1)(T-1)/BT) = (B-1)/(B+T-1)

Cas 1.2 : je le rate, probabilité de (T-1)/T
Alors la brute tire, soit en l'air, soit sur le bon.
Cas 1.2.1 : elle tire sur le bon
Cas 1.2.1.1 : elle le tue, probabilité de 1/B
Alors je vais lui tirer dessus, puis elle me tirera dessus etc... jusqu'à ce que mort s'ensuive
Ma probabilité de victoire au n-ième tour est de 1/T * ((B-1)(T-1)/BT)^n, autrement dit on se rate n fois mutuellement, puis je la tue.
Au total, ma probabilité de victoire est donc 1/T * 1/(1-(B-1)(T-1)/BT) = B/(B+T-1)
Celle de la brute est de (T-1)/(B+T-1)

Cas 1.2.1.2 : elle le rate, probabilité de (B-1)/B
Alors le bon va viser le meilleur de nous deux et le survivant lui tirera dessus
- si B<T, alors je m'en sortirai avec une probabilité de 1/T et la brute 0
- si B=T, admettons que le bon choisisse sa cible au hasard, alors je m'en sortirai avec une probabilité de 1/2T et la brute 1/2B
- si B>T, alors je m'en sortirai avec une probabilité de 0 et la brute 1/B

Conclusion du cas 1.2.1 :
- si B<T, je m'en sors avec une probabilité de 1/(B+T-1) + (B-1)/BT et la brute (T-1)/(B(B+T-1))
- si B=T, je m'en sors avec une probabilité de 1/(B+T-1) + (B-1)/2BT et la brute (T-1)/(B(B+T-1)) + (B-1)/2B^2
- si B>T, je m'en sors avec une probabilité de 1/(B+T-1) et la brute (T-1)/(B(B+T-1)) + (B-1)/B^2

Cas 1.2.2 : la brute tire en l'air : même chose que le cas 1.2.1.2
- si B<T, alors je m'en sortirai avec une probabilité de 1/T et la brute 0
- si B=T, admettons que le bon choisisse sa cible au hasard, alors je m'en sortirai avec une probabilité de 1/2T et la brute 1/2B
- si B>T, alors je m'en sortirai avec une probabilité de 0 et la brute 1/B

Conclusion du cas 1.2 du point de vue de la brute
- si B<T, la brute choisit entre une probabilité (T-1)/(B(B+T-1)) et 0. Elle va donc tirer sur le bon
- si B=T, la brute choisit entre une probabilité (T-1)/(B(B+T-1)) + (B-1)/2B^2 et 1/2B:
(T-1)/(B(B+T-1)) + (B-1)/2B^2 < 1/2B ssi
2(T-1)/(B+T-1) + (B-1)/B < 1 ssi
(2B-2)/(2B-1) + (B-1)/B < 1 ssi
B(2B-2) + (2B-1)(B-1) < B(2B-1) ssi
2B^2 -4B +1 < 0 ssi
2B^2 -4B +2 < 1 ssi
(B-1)^2 < 1/2 ssi (avec B-1 > 0)
B < 1+sqrt(2)/2
Avec B entier, on trouve B=1=T, donc je suis sur de mourir, ça n'est pas la bonne hypothèse. Par conséquent, la brute devrait tirer sur le bon aussi
- si B>T, la brute choisit entre une probabilité (T-1)/(B(B+T-1)) + (B-1)/B^2 et 1/B:
(T-1)/(B(B+T-1)) + (B-1)/B^2 < 1/B ssi
B(T-1)/(B+T-1) < 1 ssi
B(T-1) < B+T-1
Il s'agit du produit et de la somme de deux entiers. La brute tirera sur le bon si T=2 et en l'air sinon

Conclusion du cas 1.2 de mon point de vue:
- si B<T, je m'en sors avec une probabilité de 1/(B+T-1) + (B-1)/BT
- si B=T, je m'en sors avec une probabilité de 1/(2T-1) + (T-1)/2T^2
- si B>T>2, je m'en sors avec une probabilité de 0
- si B>T=2, je m'en sors avec une probabilité de 1/(B+T-1)

Conclusion du cas 1 :
- si B<T, je m'en sors avec une probabilité de (B-1)/(T(B+T-1)) + (T-1)/T * (1/(B+T-1) + (B-1)/BT)
- si B=T, je m'en sors avec une probabilité de (T-1)/(T(2T-1)) + (T-1)/T * (1/(2T-1) + (T-1)/2T^2)
- si B>T>2, je m'en sors avec une probabilité de (B-1)/(T(B+T-1))
- si B>T=2, je m'en sors avec une probabilité de (B-1)/(T(B+T-1)) + (T-1)/T * 1/(B+T-1)

Cas 2 : je tire en l'air
Cela revient au cas 1.2

Conclusion du cas 2 :
- si B<T, je m'en sors avec une probabilité de 1/(B+T-1) + (B-1)/BT
- si B=T, je m'en sors avec une probabilité de 1/(2T-1) + (T-1)/2T^2
- si B>T>2, je m'en sors avec une probabilité de 0
- si B>T=2, je m'en sors avec une probabilité de 1/(B+T-1)

- si B=T et que les deux cas sont équivalents pour moi, alors (T-1)/(T(2T-1)) + (T-1)/T * (1/(2T-1) + (T-1)/2T^2) = 1/(2T-1) + (T-1)/2T^2, alors 2T^2(T-2) = (2T-1)(T-1), soit 2T^3-6T^2+3T-1=0, qui n'a pas de solution entière.
- si B<T et que les deux cas sont équivalents pour moi, alors (B-1)/(T(B+T-1)) + (T-1)/T * (1/(B+T-1) + (B-1)/BT) = 1/(B+T-1) + (B-1)/BT, alors BT(B-1) = BT + (B+T-1)(B-1)

BT(B-1) = BT + (B+T-1)(B-1) ssi
B^2T = 3BT + B^2 -2B -T +1 ssi
T(B^2-3B+1) = (B-1)^2
B^2-3B+1 = 0 pour B = (3+sqrt(5))/2 ou (3-sqrt(5))/2, or B est entier donc B^2-3B+1 est non-nul
Donc T = (B-1)^2/(B^2-3B+1)
B^2-3B+1 = (B-1)(B-2) -1 donc le dénominateur est premier avec (B-1)(B-2) et donc premier aussi avec B-1, donc avec (B-1)^2
T est donc entier ssi le dénominateur vaut 1, c'est à dire B=0 ou 3, donc B=3 et T=4

- si B>T>2 et que les deux cas sont équivalents pour moi, alors (B-1)/(T(B+T-1)) = 0 donc B=1, impossible
- si B>T=2  et que les deux cas sont équivalents pour moi, alors (B-1)/(T(B+T-1)) + (T-1)/T * 1/(B+T-1) = 1/(B+T-1), alors (B-1)/(T(B+T-1)) = 1/(T(B+T-1)) et donc B=2, or nous sommes dans le cas B>T=2 donc impossible

Conclusion : T=4 et B=3 et ma probabilité de survie est de 5/12

scarta a écrit:

si je tire en l'air, la brute visera le bon

Est-ce bien sûr ? Ne peut-elle pas choisir de tirer en l'air ?

scarta a écrit:

Mais si elle le rate, alors le bon tirera sur le meilleur de nous deux pour optimiser ses chances de survies : moi.

Oui, mais ça c'est si la brute rate le bon, ce qui n'est pas sûr. Si la brute l'abat, le truand y a gagné à tirer en l'air.

@gwen27 : désolé, ça m'a échappé !

@Vasimolo : Peux-tu partager tes raisonnements et calculs ?

C'est juste, j'ai voulu zapper les cas inutiles pour aller plus vite, mais ils ne l'étaient pas...
J'ai rajouté le cas où B>T>2 et celui où B>T=2

@scarta : je trouve l'inverse de toi : pour T=2, la brute tire en l'air et sinon elle tire sur le bon.

@Vasimolo : tu trouves 2 solutions ?

Vasimolo a écrit:

Si T=2<B alors B=3 et il tire en l'air .

Tout calcul amenant le second à tirer en l'air est faux. Car si le premier s'y attend, il n'aura que le choix de tirer sur le troisième (sinon, c'est un suicide) ce qui va à l'encontre de l'hypothèse de départ du problème.

Ok, tu peux partager ton raisonnement ?

OK, bravo, je pense que tout est bon. On peut s'épargner pas mal de calculs en remarquant que :

1) (Tirer sur le bon <=> Tirer en l'air) <=> (Tuer le bon <=> Tirer en l'air)

2) La brute tire forcément sur le bon

Que se passe-t-il si B=T ? On peut alors supposer que le bon tirera au hasard sur le bon ou le truand (de façon équiprobable).