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#1 - 10-12-2014 18:36:52
- Vasimolo
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Pythagore dans le mnode réel
Bonsoir à tous ![smile](img/smilies/smile.png)
Tout le monde connaît le triangle pythagoricien ( 3 ; 4 ; 5 ) qui vérifie la fameuse relation : [latex]3^2+4^2=5^2[/latex] .
Pour changer un peu , j'aimerais bien trouver un réel [latex]x[/latex] différent de 2 pour lequel [mode Latex défaillant]3^x+4^x=5^x[/mode Latex défaillant] .
Mais je n'y arrive pas ![mad](img/smilies/mad.png)
Vasimolo
#2 - 10-12-2014 18:45:18
- SabanSuresh
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Pythagore dans le mode réel
Je pense que que la seule solution est 2. Si on dessine les courbes de 3^x+4^x et celle de 5^x, les courbes n'ont qu'un seul point d'intersection. Au dessus de 2, 5^x>3^x+4^x. La démarche n'est pas rigoureuse mais on moins, on sait qu'il n'y a pas d'autres solutions.
#3 - 10-12-2014 19:01:02
- gwen27
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pythagire dans le monde réel
(3/5)^x tout comme (4/5)^x sont décroissantes sur R
Donc, pour que leur somme soit égale à 1 : une seule solution.
#4 - 10-12-2014 19:03:03
- Vasimolo
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Pythagore dan le monde réel
Oui c'est un premier pas Saban ![smile](img/smilies/smile.png)
Bien vu Gwen !
Vasimolo
#5 - 10-12-2014 19:50:43
- nodgim
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pythagore dans le monfe réel
ça fait longtemps que je n'ai plus fait d'analyse... La fonction a^x pour a>1 est strictement croissante et monotone de -inf à + inf. Ajouter les fonctions 3^x et 4^x aussi. Je ne vois donc qu'un seul croisement possible avec 5^x, et puisqu'on sait que c'est en 2 que ça se produit, il n'y pas d'autre croisement possible.
#6 - 10-12-2014 20:25:44
- shadock
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Pythagore dans l monde réel
Dans ce cas ne cherche pas plus tu ne trouves pas !
En effet la fonction qui a x associe a^x est strictement décroissante si 0<a<1 Donc il existe un unique x en l’occurrence 2 tel que :
(3/5)^x+(4/5)^x=1
Tout simplement. Shadock ![cool](img/smilies/cool.png)
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#7 - 11-12-2014 08:47:40
- Franky1103
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Pythagore dans le mone réel
3^x + 4^x = 5^x <=> f(x) = 0, avec f(x) = 0,6^x + 0,8^x - 1 f’(x) = ln(0,6).(0,6^x) + ln(0,8).(0,8^x) f' est négative donc f (qui est aussi continue) est décroissante donc, au mieux, f ne s’annulera qu’une fois (et on sait déjà où) x=2 est donc l'unique solution de: 3^x + 4^x = 5^x
#8 - 11-12-2014 13:59:51
- dahaouid
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Pyythagore dans le monde réel
#9 - 11-12-2014 15:38:45
- Vasimolo
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pythagore dans ke monde réel
Vous avez tous bon ![smile](img/smilies/smile.png)
Attention dahaouid : 1+1=2 ![lol](img/smilies/lol.png)
Vasimolo
#10 - 11-12-2014 16:17:11
- unecoudée
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ythagore dans le monde réel
salut.
soit la fonction f(x) = (3/5)^x + (4/5)^x - 1
elle est définie quelque soit x et continue et varie de +infini à -1 et est décroissante
elle s'annule bien évidemment pour x = 2 déjà
sa dérivée est la suivante: f'(x) = Ln(3/5). exp{x.Ln(3/5)} + Ln(4/5). exp{x.Ln(4/5)}
cette dérivée ne s'annule jamais et varie de - infini ---> 0-
on voit qu'elle est strictement décroissante et ne coupant qu'une fois l'axe des y elle ne s'annule donc qu'une fois en x=2 (théorème de Rolle) , je crois .
#11 - 11-12-2014 16:29:53
- Vasimolo
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Pythagore dans el monde réel
Oui unecoudée .
C'est plutôt le TVI ( théorème des valeurs intermédiaires ) .
Vasimolo
#12 - 11-12-2014 17:27:34
- unecoudée
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Pythagore adns le monde réel
@vasimolo
oui . autant pour moi. il y a longtemps que l'école m'a quitté.
#13 - 11-12-2014 21:51:44
- Sydre
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Pythagore dans le mondde réel
Quel optimiste ce Vasimolo ![lol](img/smilies/lol.png)
3^x+4^x=5^x équivaut à (3/5)^x+(4/5)^x=1
La fonction f définie sur R par f(x)=(3/5)^x+(4/5)^x-1 est strictement décroissante.
D'autre part lorsque x tends vers - l'infini, f(x) tends vers + l'infini et lorsque x tends vers + l'infini, f(x) tends vers -1.
L'équation admet donc une solution unique d’après le TVI ![smile](img/smilies/smile.png)
#14 - 12-12-2014 01:33:40
- fix33
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Pythagorre dans le monde réel
Je ne suis pas très bon à ce jeu-là, mais je me lance. 3^x < 4^x < 5^x sont positives, strictement croissantes. Leurs dérivées sont aussi strictement croissantes et : - pour x < 0, 3^x*log(3) > 4^x*log(4) > 5^x*log(5). - pour x > 0, 3^x*log(3) < 4^x*log(4) < 5^x*log(5). Si je ne dis pas de bêtise, cela ne laisse qu'1 et 1 seul point d'intersection entre les 2 courbes. Merci Wolfram pour la confirmation... ![roll](img/smilies/roll.png)
Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
#15 - 12-12-2014 18:45:16
- Vasimolo
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pythagore dans le mondz réel
@Sydre : oui . @Fix : c'est un peu tordu et je ne suis pas sûr que ça marche , il vaut mieux modifier légèrement l'équation pour la rendre plus facile à utiliser ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#16 - 12-12-2014 19:42:56
- halloduda
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pythagore dand le monde réel
Il n'y a pas d'autre solution.
y=3^x+4^x-5^x dans WolframAlpha
#17 - 13-12-2014 10:08:44
- Nombrilist
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oythagore dans le monde réel
3^x + 4^x = 5^x
(3/5)^x + (4/5^x) = 1
On voit que pour x < ou égal à zéro, il n'y a pas de solution.
Soit f telle que f(x) = (3/5)^x + (4/5)^x
f(x) = exp[x.ln(3/5)] + exp[x.ln(4/5)]
f'(x) = ln(3/5).exp[x.ln(3/5)] + ln(4/5).exp[x.ln(4/5)]
Pour x>0, f' est strictement négative. f(0) = 2 et lim f en l'infini est 0. Donc, f réalise une bijection de R+* sur ]0;2[.
Donc, l'équation (3/5)^x + (4/5^x) = 1 n'a qu'une solution: x=2.
#18 - 13-12-2014 19:49:18
- Vasimolo
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pythagore dand le monde réel
J'avoue que ce problème était un peu trop simple pour les P2Têtiens mais il fait équilibre avec les derniers gâteaux un peu trop lourds .
J'adore revisiter les classiques ![smile](img/smilies/smile.png)
Merci aux participants .
Vasimolo
#19 - 13-12-2014 21:21:38
- Nombrilist
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Pythaogre dans le monde réel
Merci pour ce problème qui était tout à fait à mon niveau . ça me change des problèmes qui m'intéressent mais que je n'arrive pas à résoudre.
#20 - 14-01-2015 17:30:56
- JeremiePensif
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yPthagore dans le monde réel
Dernier théorème de Fermat : « Il n'existe pas de nombre entier strictement positif x, y, z vérifiant l'équation x^n + y^n = z^n lorsque n est un entier tel que n > 2 ».
#21 - 14-01-2015 17:57:37
- Franky1103
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Pytagore dans le monde réel
Bienvenu parmi nous et merci pour l'info, toutefois hors sujet ici, et appelé maintenant théorème de Fermat-Wiles.
#22 - 14-01-2015 18:49:38
- JeremiePensif
- Amateur de Prise2Tete
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Pythagoree dans le monde réel
#23 - 14-01-2015 18:54:38
- Vasimolo
- Le pâtissier
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pythagire dans le monde réel
Tu as lu l'énigme ?
L'exposant n'est pas entier mais réel ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#24 - 14-01-2015 19:00:48
- JeremiePensif
- Amateur de Prise2Tete
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Pythagore dans le monde rée
D'accord, merci. Oui j'avais lu l'énigme. Mais je comprends beaucoup moins bien les mathématiques depuis qu'elles ne s'énoncent plus de manière littéraire comme au temps de Fermat : « Dans les entiers, aucun cube n'est la somme de deux cubes », etc. Allez dire de si belles et claires phrases avec des exposants non entiers !
#25 - 14-01-2015 19:04:10
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Pythagre dans le monde réel
Essaie de résoudre une équation de degré 4 avec des phrases et puis on en reparle ![lol](img/smilies/lol.png)
Vasimolo
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