Pour en finir avec ce gâteau

On peut montrer qu’un gâteau équiangle avec un nombre premier n de côtés est forcément régulier si on connaît un peu les extensions de corps !!!!!

Comme on le voit dans le message 19 , construire un polygone équiangle à n côtés entiers c'est construire des vecteurs de longueurs entières, formant des angles k.360/n avec l'axe des abscisses et dont la somme est nulle .

On passe dans le champ complexe , on note z=exp(2i.pi/n)) et a0 , a2 , ... , a(n-1) les normes des différents vecteurs . Un coup d'œil sur la vision étoilée du polygone nous dit que z est une racine de :

P(X)=a0+a1.X+a2.X^2+...+a(n-1).X^(n-1)  .

Mais z est aussi racine de :

R(X)=1+X+X^2+...+X^(n-1) qui est irréductible sur Q .

Alors P et R sont identiques à un coefficient près et le polygone est régulier .

Vasimolo

PS : C'est toujours aussi pénible sans un minimum de LaTeX