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#1 - 18-04-2015 20:27:21
- Promath-
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un gateau parfzitement divisé
Bonjour ![smile](img/smilies/smile.png)
Hier j'ai cuisiné un gâteau en forme de demi disque parfait. J'y ai d'ailleurs mis un glaçage vert et bleu. J'ai utilisé la même quantité de glaçage des deux couleurs, donc ils occupent la même surface. La ligne de démarcation entre les deux glaçages est nette, rectiligne, et part d'un coin. Mais combien vaut l'angle Thêta?
![http://img15.hostingpics.net/pics/281864Gateaudivisendeux.png](http://img15.hostingpics.net/pics/281864Gateaudivisendeux.png)
On donnera une réponse en radians, à un millième près (exemple 0.123)
Bonne chance! ![smile](img/smilies/smile.png)
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#2 - 18-04-2015 23:23:30
- Sydre
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Un gateau parfaitemetn divisé
#3 - 19-04-2015 09:23:35
- unecoudée
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Un gateau parfaitemen divisé
salut.
en posant x = 2.thêta --> x = pi/2 - sin x --> x = 0.8317 et thêta = 0.416 rd
#4 - 19-04-2015 09:59:27
- Promath-
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Un gateau pafaitement divisé
Deux bonnes réponses ! Sydre, j'ai plus simple que ta methode ![smile](img/smilies/smile.png)
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#5 - 19-04-2015 10:22:47
- gwen27
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un gatzau parfaitement divisé
![http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Circularsegment.svg/257px-Circularsegment.svg.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Circularsegment.svg/257px-Circularsegment.svg.png)
![http://upload.wikimedia.org/math/a/3/d/a3d1a842a42e1ca0731fb0aa2b5b6d5e.png](http://upload.wikimedia.org/math/a/3/d/a3d1a842a42e1ca0731fb0aa2b5b6d5e.png) En prenant pi - 2 theta à la place du Théta de wiki :
PI/2 = pi - 2 theta - sin (pi - 2 theta) PI/2 = 2 theta + sin (2 theta)
0,4158 ni 0,415, ni 0,416 ne sont validés.
#6 - 19-04-2015 11:21:35
- Vasimolo
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Un gateau parfaitemet divisé
Bonjour Promath ![smile](img/smilies/smile.png)
On découpe la partie bleue en deux triangles rectangles d'angle Ô et d'hypoténuse 1 ( le rayon du demi-cercle ) et en un secteur circulaire d'angle 2Ô . Comme elle doit faire un quart du disque on a : Ô+cosÔ.sinÔ=pi/4 .
Le reste c'est pour les machines .
Vasimolo
#7 - 19-04-2015 15:26:37
- papiauche
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Un gateau aprfaitement divisé
Celle-là est dans mes cordes. ![wink](img/smilies/wink.png) Je remplace théta par a...
En traçant le segment entre le centre du cercle et le point du périmètre à la frontière des deux aires je divise l'aire bleue en un triangle isocèle et un quartier de disque.
Les aires respectives (pour un rayon de 1) sont 2a/2=a et sin(a)cos(a)=1/2sin(2a). Leur somme doit valoir la moitié de pi/2, soit pi/4
a+1/2sin(2a) = pi/4 Pour une valeur approchée de 0.416 (merci wolfram)
Et hop !
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#8 - 19-04-2015 15:33:22
- fmifmi
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n gateau parfaitement divisé
On considere la surface en bleu qui vaut pi*r²/4 elle est la somme de: 1)un secteur circulaire d' angle 2 teta donc s=teta*r² 2)un triangle isocele dont la surface est r*cos(teta)*r*sin(teta) soit r² sin(2*teta)/2
on obtient l'equation 2*sin(2*(teta)) + 4*teta - pi=0
tableur donne teta= 0,4158
#9 - 19-04-2015 15:52:32
- Franky1103
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Un gateau pafraitement divisé
![http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-theta.png](http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-theta.png) L’angle du camembert de droite vaut: pi - 2.(pi / 2 - A) = 2A L’aire du camembert de droite vaut donc: A.R² L’aire des deux triangles rectangles vaut: a.b = R².cosA.sinA = R².sin2A / 2 On a la relation: A.R² + R².sin2A / 2 = pi.R² / 4, ou: 4A + 2.sin2A – pi = 0 On trouve: A = 0,416 rad env., validé par la case-réponse
#10 - 19-04-2015 17:45:10
- Ebichu
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un gateau parfaitemebt divisé
On rajoute le rayon qui joint le centre au point du cercle situé sur la frontière entre les deux glaçages, en haut à droite.
L'angle entre l'axe et ce rayon vaut 2θ par le théorème de l'angle au centre.
Ce rayon partage le glaçage bleu en deux parties, une portion de disque d'aire θ, et un triangle d'aire sin(2θ).
On en tire l'équation 2θ+sin(2θ)=π/2 qui après résolution numérique donne θ≈0,416.
Joli problème ![smile](img/smilies/smile.png)
#11 - 19-04-2015 18:48:44
- Promath-
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un gateau parfaitement sivisé
gwen: bonne réponse. Pour la case réponse, relis l'exemple, c'est un point ![wink](img/smilies/wink.png) Vasimolo: je ne comprends pas ta méthode, tu tombes sur quoi au final? papiauche, fmifmi, Franky1103, Ebichu : c'est ok ![wink](img/smilies/wink.png)
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#12 - 19-04-2015 19:06:22
- gwen27
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Un gateau parrfaitement divisé
Ca va, je me sens moins bête ![lol](img/smilies/lol.png)
#13 - 19-04-2015 19:58:02
- alfalf31
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un gayeau parfaitement divisé
Hello,bon ce n'est pas la réponse mais voici mon raisonnement. Ensemble, la partie bleue et verte représente la moitié d’un disque donc, si chaque partie est égale, on doit trouver theta pour que la partie bleue fasse Pi.R²/4. Si on divise la partie bleue par une ligne qui passe par le centre du disque et qui rejoint l’intersection de la séparation du gâteau avec le contour du gateau, on obtient une section de gâteau de côté R et d’angle (2.Theta) et un triangle isocèle de côté R. L’aire du triangle est égale à Rcos(theta) . Rsin(theta). L’aire de la section est (2.Theta).R²/2 = Theta.R² Donc on doit résoudre R².sin(Theta).cos(Theta) + Theta.R² = Pi.R²/4. On élimine les R² et on multiplie par 2 et on regroupe sin et cos sin(2.Theta) + 2.Theta = Pi/2 Pi/4 = 0.785 est solution de l’équation J'ai du me gauffrer quelque part ![smile](img/smilies/smile.png)
#14 - 20-04-2015 09:37:39
- Promath-
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un gateau pargaitement divisé
Relis bien ton raisonnement ![smile](img/smilies/smile.png)
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#15 - 20-04-2015 15:16:06
- Jackv
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Un gateau parfaitement diviés
Soient O le centre, A-B le diamètre et A-P le segment sécant. On trace le rayon O-P. En prenant le rayon comme unité, on défini le triangle OPA d'aire sin (Thêta)*cos (Thêta)
Les deux zones ont pour aires : Thêta + sin (Thêta)*cos (Thêta) = pi/2 – Thêta - sin (Thêta)*cos (Thêta)
Thêta est racine de l'équation : Thêta + sin (Thêta)*cos (Thêta) – pi/4 = 0
soit : Thêta = 041586 (0,416 valide la solution)
Merci de me donner ainsi l'occasion de me replonger dans ce genre de calculs. J'aurais tendance à oublier ce type de manipulations... ![hmm](img/smilies/hmm.png)
#16 - 20-04-2015 15:22:35
- looozer
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Un gateau parfaitement divis
Salut à tous,
En donnant au rayon la valeur 1, en appelant x l'angle au centre correspondant à la corde tracée et en demandant que l'aire du demi-disque soit double de celle du segment de disque, j'obtiens l'équation x - sin (x) = Pi/2
WA me donne 2.30988 comme solution de cette équation bien pourrie.
J'en déduis le valeur arrondie de theta : (Pi - x) / 2 = 0.416
Merci, Promath- !
#17 - 20-04-2015 18:26:03
- Promath-
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Un gateau parfiatement divisé
Exact! C'est marrant je compte 3 équations différentes mais qui se ressemeblent et arrivent au même résultat
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#18 - 20-04-2015 18:39:51
- Vasimolo
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Un gateau parfaitement idvisé
L'angle que tu cherches est la moitié de la solution de l'équation : x+sin(x)=pi/2 .
Vasimolo
#19 - 20-04-2015 21:58:48
- kossi_tg
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Un gateau parfaitment divisé
![http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-GateauSemiCirculaire.png](http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-GateauSemiCirculaire.png)
La relation entre teta et 2*teta étant établie (relation des angles inscrits)
aire(ABO)=0.5*R^2*sin(pi-2*teta)=0.5*R^2*sin(2*teta)
aire(OBC)=teta*R^2
on déduit 0.5*R^2*sin(2*teta)+teta*R^2=(0.5*pi*R^2)/2
soit sin(2*teta)+2*teta=pi/2
Numériquement teta vaut approximativement 0.4158555968 radian
#20 - 21-04-2015 00:06:38
- golgot59
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un gateau patfaitement divisé
Salut !
Pour aller vite : 1/L'angle au centre vaut 2*téta 2/L'aire de la portion de disque MOB vaut Pi*R²*2*téta/2Pi=R²*téta 3/BM=2Rsin(téta), donc h=Rsin(téta) 4/L'aire du triangle AOM vaut : AM*h/2 =2Rcos(téta)*Rsin(téta)/2 =R²sin(téta)cos(téta) =R²sin(2téta)/2 5/L'aire de la portion de disque AOM vaut R²(Pi/2-téta) 6/L'aire verte vaut la différence des 5/ et 4/ : R²[Pi/2-téta-sin(2téta)/2] 7/L'aire bleue (foncée+claire) vaut la somme de 4/ et 2/ : R²[téta+sin(2téta)/2]
8/ on a : 6/ = 7/ Pi/2-téta-sin(2téta)/2=téta+sin(2téta)/2 2*téta+sin(2téta)=Pi/2
La table de ma calculatrice me donne 0.416, validé par la case réponse !
Si j'ai le temps je ferai un dessin.
EDIT : Le voici :
![http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-demicercle.png](http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-demicercle.png)
#21 - 21-04-2015 12:05:41
- Promath-
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un gateau parfautement divisé
Vasimolo, kossi_tg, golgot : c'était l'équation que j'avais résolue. Bravo! ![smile](img/smilies/smile.png)
Edit: Vasimolo: petite erreur d'étourderie je pense
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#22 - 21-04-2015 13:52:47
- NickoGecko
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Un gateau parfaitemetn divisé
Bonjour,
Voici ma copie :
![](http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-gateaudivise.jpg)
Merci pour cette énigme pâtissière à ma portée ... (et merci Wolfram !)
A+![smile](img/smilies/smile.png)
Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)
#23 - 21-04-2015 15:38:39
- Promath-
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Un gateau parfaitemeent divisé
Très bien! Et s'il n'y avait pas wolfram?
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#24 - 21-04-2015 17:24:36
- Vasimolo
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Un gateau pparfaitement divisé
Je ne vois pas d'erreur mais si tu le dis ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#25 - 21-04-2015 17:39:52
- Promath-
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Un gateauu parfaitement divisé
J'avais mal lu ta réponse, je n'avais pas vu le mot "moitié"
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