salut.

en posant x = 2.thêta  -->  x = pi/2 - sin x --> x = 0.8317   et thêta = 0.416 rd

En prenant pi - 2 theta à la place du Théta de wiki :

PI/2 = pi - 2 theta - sin (pi - 2 theta)
PI/2 = 2 theta + sin (2 theta)

0,4158 ni 0,415, ni 0,416 ne sont validés.

Celle-là est dans mes cordes.
Je remplace théta par a...

En traçant le segment entre le centre du cercle et le point du périmètre à la frontière des deux aires je divise l'aire bleue en un triangle isocèle et un quartier de disque.

Les aires respectives (pour un rayon de 1) sont 2a/2=a et sin(a)cos(a)=1/2sin(2a).
Leur somme doit valoir la moitié de pi/2, soit pi/4

a+1/2sin(2a) = pi/4
Pour une valeur approchée de 0.416 (merci wolfram)

Et hop !

L’angle du camembert de droite vaut: pi - 2.(pi / 2 - A) = 2A
L’aire du camembert de droite vaut donc: A.R²
L’aire des deux triangles rectangles vaut: a.b = R².cosA.sinA = R².sin2A / 2
On a la relation: A.R² + R².sin2A / 2 = pi.R² / 4, ou: 4A + 2.sin2A – pi = 0
On trouve: A = 0,416 rad env., validé par la case-réponse

gwen: bonne réponse. Pour la case réponse, relis l'exemple, c'est un point
Vasimolo: je ne comprends pas ta méthode, tu tombes sur quoi au final?
papiauche, fmifmi, Franky1103, Ebichu : c'est ok

Hello,bon ce n'est pas la réponse mais voici mon raisonnement.
Ensemble, la partie bleue et verte représente la moitié d’un disque donc, si chaque partie est égale, on doit trouver theta pour que la partie bleue fasse Pi.R²/4.
Si on divise la partie bleue par une ligne qui passe par le centre du disque et qui rejoint l’intersection de la séparation du gâteau avec le contour du gateau, on obtient une section de gâteau de côté R et d’angle (2.Theta) et un triangle isocèle de côté R.
L’aire du triangle est égale à Rcos(theta) . Rsin(theta).
L’aire de la section est (2.Theta).R²/2 = Theta.R²
Donc on doit résoudre
R².sin(Theta).cos(Theta) + Theta.R² = Pi.R²/4.
On élimine les R² et on multiplie par 2 et on regroupe sin et cos
sin(2.Theta) + 2.Theta = Pi/2
Pi/4 = 0.785 est solution de l’équation
J'ai du me gauffrer quelque part

Soient O le centre, A-B le diamètre et A-P le segment sécant.
On trace le rayon O-P.
En prenant le rayon comme unité, on défini le triangle OPA d'aire
                                sin (Thêta)*cos (Thêta)

Les deux zones ont pour aires  :
Thêta + sin (Thêta)*cos (Thêta) = pi/2 – Thêta - sin (Thêta)*cos (Thêta)

Thêta est racine de l'équation :
                        Thêta + sin (Thêta)*cos (Thêta) – pi/4 = 0

soit :                 Thêta = 041586  (0,416 valide la solution)

Merci de me donner ainsi l'occasion de me replonger dans ce genre de calculs.
J'aurais tendance à oublier ce type de manipulations...

Exact! C'est marrant je compte 3 équations différentes mais qui se ressemeblent et arrivent au même résultat

La relation entre teta et 2*teta étant établie (relation des angles inscrits)

aire(ABO)=0.5*R^2*sin(pi-2*teta)=0.5*R^2*sin(2*teta)

aire(OBC)=teta*R^2

on déduit 0.5*R^2*sin(2*teta)+teta*R^2=(0.5*pi*R^2)/2

soit sin(2*teta)+2*teta=pi/2

Numériquement teta vaut approximativement 0.4158555968 radian

Vasimolo, kossi_tg, golgot : c'était l'équation que j'avais résolue. Bravo!

Edit: Vasimolo: petite erreur d'étourderie je pense

Très bien! Et s'il n'y avait pas wolfram?

J'avais mal lu ta réponse, je n'avais pas vu le mot "moitié"