Dans chaque course, il y a un total de 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+12+15 = 82 points mis en jeu.
Dans une coupe, il y a 82*4 = 328 points.
Il y a 12 participants donc pour qu'il y ait égalité parfaite, 328/12 = 27.333 points par joueur. Ce cas n'existe donc dans le cas ou tous les scores sont les plus proches, on a 8 joueurs qui ont 27 et 4 qui ont 28 points.
Et donc théoriquement, avec 29 points, un joueur peut finir premier sans ex-æquo mais je sais pas si concrètement c'est possible.

28, à mon avis vu que 328 points sont distribués aux 12 joueurs.

Il y a un total de 328 points à répartir. 328/12~27,3, donc il faut 28 points au moins pour le vainqueur ; or, 28+27*11=325<328, donc il faut au moins 29 points pour le vainqueur.

Et 29 points suffisent, la répartition suivante le prouve :

15    1    12    1    29
10    4    10    4    28
9    2    15    2    28
8    5    3    12    28
7    6    9    6    28
5    8    7    8    28
12    3    2    10    27
2    12    4    9    27
1    10    1    15    27
6    7    8    5    26
4    9    6    7    26
3    15    5    3    26

@ash00 : C'est plutôt "avec quel score minimum peut-on terminer premier au classement ?".

Sinon merci pour vos réponses, elles sont toutes très claires.
Je commence d'ailleurs à me poser une question corollaire (histoire de bien compliquer jusqu'au bout), à savoir quelle est la place minimale que je suis obligé d'atteindre durant au moins l'une des 4 courses pour pouvoir atteindre ce nombre de points

Bah 6e sur chaque course vu que 7 * 4 = 28

Il faudrait juste trouver un exemple ce qui aurait valeur de preuve.

La nuit m'ayant porté conseil, je dirais que le 29 trouvé en #5 est bien le minimum.
En effet, le nombre de points total des 12 joueurs pour 4 courses est de 328, soit une moyenne de 27.33 par joueur. Le vainqueur a donc au moins 28 points. Si c'est le cas, il reste 300 points à partager par les 11 joueurs restants, soit un moyenne de 27.27 par joueur. Le deuxième aurait aussi 28 points, mais on ne veut pas d'ex-aequo.

Édité :

Païdon a écrit:

quelle est la place minimale que je suis obligé d'atteindre durant au moins l'une des 4 courses pour pouvoir atteindre ce nombre de points

Le second exemple en #5 montre qu'il suffit d'une place de 4ème (9 points), mais on peut peut-être arriver à 5ème (8 points) (29/4=7.25). On ne pourra pas faire mieux.


Édité (2) :
Voici un exemple de gain sans être mieux placé que 5ème (8 points) à chaque course (mais avec un total de 31 points)

 15 12 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1
  1  6  2  4 15  8 12  9 10  7  3  5
 12  5  9  1  4  8  2  3  7  6 10 15
  1  2  9 15  3  8  4 12  7 10  5  6
 29 25 30 29 30 31 24 29 28 26 20 27

Édité (3) :
Idem avec un total de 30 points

 15 12 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1
  3  2  5  6  1  7  9 12  8  4 15 10
  1 12  6  5  4  8  9  7  2 15  3 10
 10  1  5  9 15  8  3  2 12  7  6  4
 29 27 26 29 28 30 27 26 26 29 26 25

On est obligé d'être au moins une fois 5e car 29/4=7,25, donc il faudra marquer au moins une fois 8 points. C'est suffisant, l'exemple ci-après le prouve :

7    7    7    8    29
12    9    6    1    28
8    10    4    6    28
4    12    8    4    28
2    8    15    3    28
10    5    2    10    27
6    6    3    12    27
5    3    12    7    27
3    4    5    15    27
1    15    9    2    27
15    1    1    9    26
9    2    10    5    26

82 points sont distribués par course, 328 au total, soit en moyenne, 27.33 par concurrent.
Il ne suffit pas que le vainqueur ait 28 points, car même si tous les autres en avaient 27, cela ne correspondrait qu'à un total de 325 points.
Il faut donc que le vainqueur ait, au minimum, 29 points.
Il reste donc à montrer qu'au moins une solution existe pour répartir ces points.
En voilà une :

1 :    15    12    10     9     8     7      6      5      4      3      2     1
2 :      1     2     3      4     5    10      6      7     12     8      9    15
3 :      9     5     8      4    10     2      3     12      7     1     15     6
4 :      4     9     7     10     3     8     12      2      5    15      1     6
        29    28    28    27    26    27    27    26    28    27    27    28

Pour arriver à 29 points avec une place maximale la plus petite possible, il faut obtenir une répartition des points telle que : 8, 7, 7, 7.
C'est à dire arriver 3 fois 6ème et une fois 5ème.

Merci pour cette occasion de réflexion .

Merci à tous pour vos réponses