Bonjour,
Soit d_n la distance du centre du cercle par rapport à l'origine
d_n+1^2 = d_n^2 - r^2
La suite s'arrete lorsque la distance d_n devient inférieure à r.
Le nombre d'élément est donc d_0^2/r^2 arrondi à l'excès

Bonsoir



Ca fait penser à l'escargot de Pythagore . Si on note [latex]L_n[/latex] la longueur des différents segments bleus ( [latex]L_0[/latex] étant la longueur initiale ) , on a : [latex]L_n^2=L^2-nR^2[/latex] . Dès que le point A entre dans un cercle , l n'y a plus de tangente possible , on arrive donc ( sauf erreur ) à [latex]n=\lfloor\frac LR\rfloor^2[/latex] .

Vasimolo

Je vois que vous avez tous trouvé facilement !

Ce qui me donne envie de vous poser une autre question

Le processus que j'ai décrit est en fait un algorithme de recherche : on s'en sert pour trouver quelque chose au voisinage d'un point en explorant la zone par cercles successifs.

Une stratégie intuitive consiste à appliquer l'algorithme en partant de 2 points équidistants du pôle, les 2 points et le pôle étant alignés :



Cette stratégie est-elle fiable ? (i.e existe-t-il des couples [latex](L, R)[/latex] pour lesquels des zones restent inexplorées ? Les caractériser ?)

@Franky1103 : Ce n'est pas ça. La suite est toujours finie

Concernant la 2ème question voici un exemple de couple qui ne marche pas :
[TeX](L=9.4,R=3)[/TeX]

@Ebichu : J'ai quelques pistes mais pas de solution concrète malheureusement !

J'ai eu un peu la flemme de me lancer dans les calculs, mais le plus simple me semble de prendre les calculs à l'envers, et de réduire le nombre de paramètres.

On partira donc d'un cercle de rayon r recouvrant l'origine (l = distance d centre à l'origine < r ) , et on construira les suivants tangents à la droite passant par l'origine et le centre du dernier cercle.
La réponse sera évidemment la même si le rapport r/l est le même. On peut donc fixer la valeur de l à 1. De plus, le problème est invariant par rotation, on peut donc considérer le centre du premier cercle sur l'axe des abscisses.
On peut alors conjecturer qu'à partir de (Edit: j'avais mal modélisé) r = 1.18 environ, il n'y a plus de vide (on peut calculer cette valeur mais je ne l'ai pas fait)
Il faut alors démontrer que lorsque l'on est suffisamment éloigné de l'origine, il n'y a plus de vide, puis trouver le moyen de calculer de manière pratique le résultat à partir du couple L,R selon la définition de Sydre. (Il faut donc trouver le terme général de la suite pour trouver le cercle final, et pouvoir regarder le rapport r/l)

Bon, c'est plus facile à dire qu'à faire...

Edit:
Je viens de m’apercevoir que lorsque le rapport r/l dépasse 21.29 (environ) , on a à nouveau un trou dans notre figure...

Oui, mais au delà de cet valeur, ça se stabilise, le trou reste toujours...
Edit:
Il y a un trou jusqu'à 1.63 environ
Je pense qu'après, il n'y a plus de trou que l'on n'a pas vu.
Il y aurait donc absence de trou sur l'intervalle [1.63,21.29]

Je le confirme, le calcul n'est pas compliqué. Pour s'en convaincre, avec un petit tableur, on voit que pour r=1 et d= 100, d = 103,13...après une somme d'angles de 6,28 (2 PI = 1 tour).