Tu veux bien dire 7901*x et non pas x à la 4ème ligne? Du coup ça fait 7901²*k, k impair?


Dans ce cas en posant x=7901k puis k=2l+1 j'aboutis à l pair donc l=2m , en simplifiant j'ai m= (n²-1506450)/62425801 ce qui me donne une équation modulaire, qui aboutit à n=29864107 pour m=14286799... Je n'ai pas mieux pour le moment hélas

Posant x=4m+1 on arrive à la résolution de l'équation diophantienne suivante: n²=7901m+1975

posant n=ak+b et m=ck²+dk+f

on a 7901c=a²
7901d=2ab
7901f+1975=b²

il en découle que 7901 divise 4c*1975 donc que c est multiple de 7901 et d de 2. Puis on met en évidence une nouvelle solution, après avoir posé c=7901g, qui donne que g est un carré parfait, pour prouver plus tard que 2g' divise d; ce qui amène, en posant g'= sqrt (g) que le couple n,m=d/2g',f est solution de l'équation. Il vient ensuite rapidement que c=7901, les autres valeurs suivent. Ce qui donne un n=1673 au minimum, amenant un x égal au minimum à 1417


Edit: j'ai remarqué qu'on peut arriver à x congru à 1 modulo 4 rapidement aussi, et considérer un résidu négligeable après mais je ne sais pas comment faire sans machine du coup

Edit2: Je viens de me rendre compte que l'équation était soluble directement! Tant pis ça fonctionne aussi comme ça...

@ Promath:
Si j'étais éditeur je dirais: la méthode est remarquable, car c'est par une série d'inductions ingénieuses que la solution apparait presque miraculeusement. Un délice pour les spécialistes !
Comme je ne suis pas éditeur, je dirais que c'est un peu capillotracté. Bien sûr il existe une méthode plus aérienne, et surtout, comme tu procèdes, la généralisation n'est pas accessible.

@ Papiauche:
Tu as eu un bon départ, malheureusement tu t'es perdu en cours de route. J'ai l'explication de cette perdition dans ta toute dernière phrase, car il existe bien une méthode facile pour résoudre cette équation.

Sinon, vous avez bien tous les deux trouvé le bon résultat, bravo !

Je donnerai un indice sur la méthode qui me semble être la plus courte si personne ne trouve.

A la main, c'est-à-dire en tapant sur le clavier , je trouve: x = 1417

On a l'égalité: 1417 x (85² + 26²) = 1 + 4 x 1673². Mais même en remarquant
que: 1417 = 13 x 109 et 1673 = 7 x 239, je ne vois aucune autre méthode .

Pour la question de la parité, on peut établir qu'il existe n impair tel que
7901*x=1+n^2

On garde la même démo.
Dans l'identité de Bezout, si a et b sont solutions de a*i+b*p=1 alors (a-p) et (b+i) aussi.

Comme le carré est égal à abs(a)*j; une autre solution est abs(a+p)*j.
a et a+p étant de parité opposée, on a trouvé une solution paire et une solution impaire.

Cette méthode ne permet malheureusement toujours pas de trouver la plus petite solution paire...

Le plus petit entier x est  x = 1417 ; dans ce cas  n = 1673 .
7901*1417 = 11195717
1+4*1673^2 = 11195717

L'indice:
p=a²+b²
p*x=1²+(2n)²

ça devrait je crois faire tilt pour quelques lecteurs assidus de ce site, car ce thème a déja été abordé plusieurs fois sur ce forum.

J'ai enfin trouvé mieux
Je repars de l'identité de Bezout avec i et j cette fois.

a*i+b*j=1.
Je l'élève au carré
a^2*i^2+b^2*j^2+2*a*i*b*j=1

J'ajoute abs(a*j-b*i)^2 des deux côtés.

Il vient (a^2+b^2)*(i^2+j^2)=1+abs(a*j-b*i)^2

(a^2+b^2)*p=1+abs(a*j-b*i)^2

Mon problème de parité se règle par mon précédent post.

Pour l'exemple à traiter:
-11*85+36*26=1
(A la main, par division euclidienne).

x=11^2+36^2=1417
n=(11*26+36*85)/2=1673.

15*85-49*26=1
x=15^2+49^2= 2626
n2=(15*26+49*85)=4555 (impair donc...)

Il me reste à prouver que j'ai bien obtenu le plus petit...

Posons n entier, x entier et p premier somme de deux carrés: Soit p=u²+v²
Choisissons des entiers  k et l tels que:
-Ils sont premiers entre eux, kv+lp=1 (car p et v nécessairement premiers entre eux, sinon PGCD(x,y,p) différent de 1 donc p non premier)
-2n=ku et x=k²+2lp-l²p

comme p=u²+v²
on a pk²=u²k²+v²k²
ainsi pk²+2-2kv-1+2kv-k²v²=k²u²+1
il s'ensuit pk²+2(1-kv)-(1-kv)²=k²u²+1   d'après bézout 1-kv=lp
d'où pk²+2lp-l²p²=k²u²+1
On a alors: px=(2n)²+1 smile

Je suis très loin d'être expert en équations diophantiennes.
Mais ça n'interdit pas d'essayer...

J'explique là ou je bute avec un exemple:

9161 est premier.

9161 = 85^2+44^2.

Avec la méthode de mon dernier post, j'obtiens:

3125^2+1= 1066*9161
6036^2+1= 3977*9161.

La réponse attendue est donc 3018 (si la méthode utilisée permet d'isoler le plus petit nombre pair possible, ce que je n'ai pas démontré, mais qui semble plausible).

Il n'empêche que j'ai trouvé un nombre impair qui donne un x inférieur, et c'est de ça que je n'arrive pas à me sortir.

Edit
Si on s'en tient strictement à l'énoncé, on choisit le n pair et c'est plié.
Je ne tiens toujours pas la preuve formelle que j'ai le plus petit.
J'apprends en marchant.

On cherche à résoudre l'équation diophantienne: 7901.x+4.n²=1
Une solution particulière est: x0=1 et n0²=1975
La solution générale est donc: x=1+4.k et n²=1975+7901.k, avec
k comme entier relatif.
Le premier carré parfait de: 1975+7901.k est donné pour: k=354,
d'où: n²=2798929 et n=1673, ce qui donne: x=1417

Non aucun problème, puisque 2n n'est pas premier