Je vous propose un petit exercice intellectuel, divertissant et totalement pompé !
En mathématique, il est permis - je dirais même obligatoire - de partir de postulats. Et rien ne nous interdit de partir d'1 ou 2 postulats plutôt étranges...
Pour le plaisir intellectuel, je vous conseille de ne pas rechercher bêtement les démonstrations sur le Net, car elles existent ! Il s'agit de tours de passe-passe mathématiques assez simples (niveau collège, maximum lycée).
1. Soit la suite S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … Supposons que cette suite admette une limite, quelle en serait alors la valeur ? Un petit tour de passe-passe mathématique permet de trouver. Combien vaut 1 - S1 ?
2. Soit la suite S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 +… Supposons également que cette suite admette une limite finie, quelle en serait alors la valeur ? Utilisez à bon escient ce que vous avez déjà trouvé.
3. Soit la suite S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +… Supposons également que cette suite admette une limite finie, quelle en serait alors la valeur ?
4. Croyez-vous que de tels calculs puissent avoir un sens/intérêt ?
Si vous séchez, j'ai un seau d'eau, pas de mie et un MP tout vert !
Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
Il s'agit de la fameuse somme infinie des entiers qui donne -1/12...
La réponse de chacun va sans doute être très intéressante en effet !
(Perso je dirai que si cette somme avait une valeur, alors ce serait effectivement -1/12, ce qui est impossible puisque la somme de termes positifs doit être positive. Ce qui confirme que cette somme n'a pas de valeur finie !)
Alors tout bon taupin c'est que sur son domaine de convergence les coefficients de [latex]S_2[/latex] sont les mêmes que les coefficient du polynôme 1/(1+x)^2. En effet [latex]\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+... [/latex](série de Taylor)
Ainsi lorsque [latex]x[/latex] tend vers [latex]1[/latex] on a [latex]S_2=1/(1+1)^2=1/4[/latex] Ensuite on remarque que [latex]S_2=(1 +2 + 3 + 4 + ...) - 4 - 6 - 8 - ... = S(1-4)=1/4[/latex]
Et ainsi sans peine on obtient [latex]S=-1/12[/latex]
Bon maintenant, quelques précisions, évidemment ça n'a aucun sens mathématiquement d'écrire un truc pareil. Premièrement puisque plus l'infini n'est pas négatif et deuxièmement parce la série des entiers est divergente il n'y a aucun doute là-dessus. En revanche il y a bien des applications à ça en physique par exemple car d'après la table de loi des physiciens que voici :
La table des lois des physiciens Nous supposerons triviaux les postulats suivants comme quoi tous les physiciens sont nés égaux, en première approximation, et qu'ils ont été dotés par la créateur de quelques privilèges, avec une espérance de vie suffisante et n degrés de liberté, et les lois suivantes qui sont invariantes pour toute transformation linéaire: 1. Approximer tous les problèmes à des cas idéaux 2. Utiliser des ordres de grandeurs de calculs particuliers uniquement quand cela est nécessaire 3. Utiliser des simplifications dès que le problème étudié implique autre chose que des nombres entiers. 4. Négliger ou considéréer comme non physique toutes les fonctions qui divergent. 5. Invoquer le principe d'incertitude quand confronté à des mathématiciens, chimistes, ingénieurs ou autres scientifiques confus. 6. Marmonner quand un non-physicien pose une question trivial impliquant des mathématiques élémentaires. 7. Égaliser les deux côtés d'une équation qui sont dimensionnellement inconsistentes, avec une remarque du type "De toute façon, nous sommes seulement intéressés à un ordre de grandeur"... 8. Utiliser des notations non traditionnelles où les conventions mathématiques d'usage ne fonctionnement pas. 9. Inventer des forces fictives ou virtuelles pour brouillet le public. 10. Utiliser des raisonnements incorrects sur la base que cela donne le bon résultat. 11. Utiliser toujours des conditions initiales utilisant le principe général de trivialité 12. Utiliser des arguments plausibles en lieu et place de preuves et de se référer à ses arguments comme étant des preuves. 13. Prendre pour vrai tout principe qui semble correct mais que ne peut pas être démontré
les trucs qui divergent en physique c'est pas possible. Plus sérieusement c'est vraiment le cas, l'énergie infinie, libre et tout ce qu'on veut c'est pas possible. En particulier dans le cas de l'effet Casimir il y a une renormalisation qui permet de calculer "l'énergie du vide" mise en jeu.
Ici il s'agit de faire la renormalisation de la zeta lorsque [latex]x[/latex] tend vers [latex]-1[/latex] puisque [TeX]S=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{-1}}[/TeX] on trouve alors une relation du type : [TeX]\lim_{x \to -1} \zeta(x) = \frac{1}{\epsilon^2} -\frac{1}{12} + \frac{\epsilon^2}{240} + O(\epsilon^4)[/TeX] Le terme en [latex]1/\epsilon^2[/latex] représente ce qui diverge et donc physiquement impossible donc on le l'enlève, et puis il fini par rester [latex]-1/12[/latex] lorsque [latex]\epsilon \longrightarrow 0[/latex].
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
Je suppose qu'on connaît déjà tous la réponse : S3 = -1/12 (si je ne me suis pas trompé) et je répond donc par une vidéo du très grand Micmaths (chaîne youtube dédiée aux mathématiques menée par un homme très passionné !) :
Salut! J'ai vu une video de Mickael Launay traitant de ce sujet. Il fait référence à Casimir qui dans une équation avait utilisé le -1/12. Une expérience aurait "prouvé" son équation. As-tu quelques infos là-dessus ?
Sinon je pense que l'on a autant le droit d'utiliser l'infini que de diviser par 0 .
Bonjour, Bon, je vois que pas mal d'entre vous connaissaient déjà ce sujet très polémique. Un tel résultat est-il pertinent ? Tout d'abord, les hypothèses et les résultats paraissent extravagants. Comment une somme de nombres positifs croissants pourrait donner un résultat négatif !? En définitive, on soustrait l'infini à l'infini, ce qui peut donner n'importe quoi, non ? Pourtant, l'effet Casimir a trouvé une confirmation à l'observation expérimentale dans ce résultat. Extraordinaire, non ? Je ne sais pas si on peut prétendre que de telles manipulations puissent être un outil mathématique comme le sont les nombres imaginaires... Sinon, cela ne fait que traduire pour moi 2 vérités universelles : 1. Avec des hypothèses fausses, on peut démontrer n'importe quoi. 2. Un résultat induit correct ne valide aucunement les hypothèses prises.
Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
@777777 : Ton erreur vient de la 1ère ligne, le 1 tu dois l'enlever ! (pour la suite, ta suite S3 est construite n'importe comment, et 1/4*1/2=1/12?!?)
Sinon si on regarde dans le détail :
S1=1/2, bah, pourquoi pas car S=0 ou 1 selon où on s'arrête, donc admettons pour le 1/2, ça fait une moyenne...
S2=1/4, pfff, bon alors ça devient compliqué mais si on regarde encore une fois où on s'arrête, S2=1 puis -1, et si on continue on aura 2; -2; 3; -3; 4; -4; etc. Du coup la somme de toutes ces sommes donnera 0 si on s'arrête sur un nombre pair de termes et (n+1)/2 si on s'arrête sur un nombre impair. Donc par exemple S2(999)=500; S2(1000)=0. Du coup, la moyenne de ces 2 sommes de sommes donne (500+0)/2/1000=1/4. Mouais...
Par contre, Pour S il y a de l'arnaque ! S(10)=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55, S(11)=55+11=66 et S(10)-S2(10)=4+8+12+16+20=4*S(5)=60 (et non pas 4(1+2+3+...+10)) S(11)-S2(11)=60 aussi. On est bien plus proche du S-S2=S que du S-S2=4S ! Le gros soucis vient du fait qu'on se sert de l'infini pour récupérer à l'avance les termes dont on aura besoin par la suite, un peu comme tous les gouvernements continuent d'emprunter de l'argent pour financer la dette, qui grossie, grossie, grossie... (avec une limite de +3% de fixée, c'est moi ou quelque part il y a un bug ?)
Aucun rapport avec les séries divergentes comme c'est le cas ici, mais pour les curieux sachez que toutes les séries semi-convergentes (c.a.d série des termes u_n converge mais série des valeurs absolues des termes diverge) alors on peut faire converger cette série vers n'importe qu'elle valeur (réelle) arbitrairement choisit.
Golgot, juste une remarque, la règle des 3% est viable dans une entité qui aurait 5% de croissance nominale annuelle (croissance réelle + inflation), ce qui était le cas de l'Europe jusqu'en 2007. Ces chiffres faisaient converger la dette à 60% du PIB qui sont les critères de Maastricht. On reste dans le domaine des suites, avec une application concrète
Oui, je me doute bien, mais depuis 2007 on ferme les yeux ? Et puis j'ai un peu de mal avec cette histoire de conserver une dette et de la stabiliser
Je suis peut-être un peu naïf, mais c'est quoi l'idée ? Le contribuable paie des impôts dont une partie sert à rembourser une dette qu'il n'a pas choisi de contracter ? Et surtout on essaie pas de la rembourser complètement pour être bien sûr que cela continue de coûter de l'argent...
De mon point de vue, un crédit n'est "intéressant" que si il permet de faire un placement qui devient rentable. Du coup acheter une maison à crédit est productif puisque les remboursements compensent les loyers qu'on a plus à payer, et qu'à la fin on possède une maison de la valeur d'une maison.
Acheter une voiture neuve à crédit n'a aucun intérêt car une fois le crédit remboursé on a une voiture qui a la valeur d'une voiture vieille. Comme le crédit coûte de l'argent, la voiture aura alors coûté plus cher que si elle avait été achetée cash. J'ai donc l'impression qu'il vaut mieux attendre d'avoir assez d'argent avant de l'acheter...
Je dois manquer quelque chose parce que tous les pays sont endettés, et tous les économistes trouvent ça bien !
C'est complétement sorti du contexte mathématique, mais je suis entièrement d'accord avec toi Golgot. On est endetté, qu'on le veuille ou non. On file direct vers les mêmes problèmes que les grecs. Qu'est ce que c'est que ces responsables, pourtant bien formés en économie, qui se complaisent dans cette situation oh combien périllieuse ? Dans la même veine, ça me fait penser au patron d'Areva qui dit "assumer" le risque nucléaire, alors qu'Areva n'est pas assuré pour les risques de contamination à grande échelle ? Il n'assume rien du tout. Et bien je me demande si ce n'est pas la même chose pour nos gouvernants. Qu'assument ils ? Rien du tout.
Excellent Franky. Aux autres: l'endettement est ce qui fait tourner l'économie d'un pays. Comme vous l'avez fait remarquer, tous les pays du monde sont endettés et l'immense majorité de leurs entreprises et de leurs ménages. Ce n'est pas pour rien. Si les pays, les entreprises et les ménages ne s'endettaient pas pour produire et/ou consommer, on serait en récession perpétuelle. Je suis d'accord que c'est une fuite en avant que ça donne des crises financières assez souvent, mais c'est le modèle qui veut ça. On n'en a pas d'autre que les gens veuillent essayer pour le moment.
Une nouvelle branche des mathématiques est née. Ce sont les mathématiques quantiques
On peut aller plus loin. Comme la suite vaut aussi n(n+1)/2 et donc aussi -1/12, on peut calculer pour quel n on atteint cette valeur. n(n+1)=-1/6 donne deux valeurs de n, chacune d'elles étant bien entendu la valeur d'un infini: n=-0,788... n=-0,211...
Petit point d'économie, dans notre système économique s'il n'y a plus de dette il n'y a plus d'argent en circulation. Le problème est que dans notre système économique on rembourse avec du vrai argent (monnaie fiduciaire) du faux argent (monnaie scripturale).
Exemple: Vous désirez faire un prêt de 1000€. Vous allez voir votre banquier et selon la loi la banque doit posséder en monnaie fiduciaire 7% du montant que vous désirez. Donc sur les 1000€ il y en a 930 qui sont juste du vent, des bits dans un fichier. A cela vous ajouté les intérêts et c'est là que ça devient marrant. Si vous avez un prêt à ne serai-ce que 1% vous devrez 1010€ à votre banquier. La seule manière de rembourser la totalité est donc de faire un autre prêt pour rembourser le premier etc etc... et les banques centrales s'échangent seulement de la monnaie fiduciaire mais la banque centrale européenne depuis une loi passé dans les années 70 je crois ne prête plus à taux zéro donc il faudra lui rembourser plus d'argent réel qu'elle n'en prête.
Pour plus de renseignement regarder cette vidéo: elle est bien
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
Le plus embêtant, en France, c'est que la dette grossit chaque année, et surtout, surtout, que le budget est déficitaire de 3%, valeur qu'on arrive tout juste à tenir ! Quelle banque soutiendrait une entreprise ou un particulier avec un tel bilan ? Je le redis, on aura les mêmes problèmes que les grecs dans les, disons, 10 à 15 ans à venir. Si rien de drastique n'est fait.
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