@shadock: le nombre max de récalcitrants de 3 chiffres à 13 peut être beaucoup plus bas que ce que tu avances. Il est vrai que déja cette première question oblige à bien avancer dans le problème !

Bon courage

de 0 à 1000, il y a 76 multiples de 13.
pour un nombre ABC, les binômes AB, AC et BC sont tous différents pour les 76 premiers multiples.
Un nombre récalcitrant ne peut pas être de la forme XBC si BC fait parti des 76 binômes. (idem pour AXC et ABX)
Donc la liste des nombre récalcitrants est l'union des 24 paires restantes pour AB/AC et BC ... Et là, ça dépasse mes compétences

@Godisdead: comment es tu arrivé au 24 ?
@Gwen: pas compris ta démarche, peux tu développer ?
Sinon, il n'y a pas 15 récalcitrants, enfin c'est peut être parce que tu n'as pas lu une précision de l'énoncé qui est arrivée tardivement.

@tous: Pour trouver les récalcitrants, il suffit de lister les nombres de 100 à 999 et d'ôter:
-les nombres qui finissent par ..13,..26,..39,...
-les nombres dont le 1er et le dernier chiffre sont 1..4 (à cause du 104) 1..7, etc..
-les nombres dont le 1er et 2ème chiffre sont 10.., 11.., à cause des 104 et 117, ...

Mais on peut faire plus court avec une autre méthode, qui marche aussi pour les nombres à 4 chiffres et plus.

Oui Gwen, je suis d'accord.
Pour les retrouver sans avoir besoin de procéder par élimination, il faut s'intéresser aux nombres modulo 13 qui ne peuvent pas être atteints par les chiffres décimaux.

En approximation pour un nombre de n chiffres,n'a on pas ce nombre environ égal à 4/13 puissance n ?

Je vais essayer demain matin d’écrire mes idées mais j'ai des problèmes d'accès PC ces jours ci et pas facile d’écrire sur mon téléphone...

au fait il y avait un typo dans mon message précédent. c'est bien sur 3/13 et non pas 4/13 à la puissance n auquel je pense.

Si tu peux prolonger de 2/3 jours ça serait sympa et permettrait d'affiner les réponses

Un indice.
Avec un nombre récalcitrant, la somme de 2 des chiffres ne peut être complétée par le 3ème pour faire un zéro modulo 13. Sachez qu'avec les chiffres de la base 10, 3 chiffres de la base 13 ne sont pas accessibles.

C'est en effet la bonne voie, Portugal. Ton approximation est d'ailleurs, après calcul exact, assez impressionnante...

@Portugal: pour trouver les nombres récalcitrants, je me sers du tableau de ton dernier message. Oui mais voilà, comment s'en servir ?

Indice: Il faut poser un système d'équations simples.

Soit un nombre n de 3 chiffres.
On l'écrit sous la forme
$$n = 100\,a+10\,b+c$$
avec a,b,c chiffres, a non nul.
On a modulo 13
$$n \equiv 9\,a+10\,b+c \mod 13$$
n est récalcitrant s'il vérifie les 3 conditions suivantes :
1) il n'existe pas de chiffre u tel que $9\,u+10\,b+c\equiv 0\mod 13$ ;
2) il n'existe pas de chiffre v tel que $9\,a+10\,v+c\equiv 0\mod 13$ ;
3) il n'existe pas de chiffre w tel que $9\,a+10\,b+w\equiv 0\mod 13$.

En multipliant 1) par 3 et 2) par 4 on obtient les conditions équivalentes :
1') il n'existe pas de chiffre u tel que $u\equiv 9\,b-3\,c\mod 13$ ;
2') il n'existe pas de chiffre v tel que $v\equiv 3\,a-4\,c\mod 13$ ;
3') il n'existe pas de chiffre w tel que $w\equiv 4\,a+3\,b\mod 13$.
Cela montre que si u ou v ou w existent, ils sont donnés par l'expression précédente avec u,v,w compris entre 0 et 12.

Conclusion : n est récalcitrant si et seulement si les valeurs de u, v et w fournies par 1') 2') 3') sont parmi 10, 11, 12.

Choisissons pour u, v, w des valeurs parmi 10, 11, 12. Alors les 3 équations 1') 2') 3') forment un système linéaire d'inconnues a,b,c. En résolvant le système en fonction de u,v,w, on obtient l'unique solution modulo 13 :
$$a \equiv 7\,u-2\,v+5\,w \mod 13$$
$$b \equiv 8\,u+7\,v-2\,w \mod 13$$
$$c \equiv 2\,u-5\,v+7\,w \mod 13$$
On obtiendra un entier récalcitrant chaque fois que a, b et c seront parmi 0,1,...,9.

Finalement on obtient le tableau suivant

[ u,  v,  w]   [a, b, c]   n

[10, 10, 10]   [9, 0, 1]   901
[10, 10, 11]   [1, 11, 8]   
[10, 10, 12]   [6, 9, 2]   692
[10, 11, 10]   [7, 7, 9]   779
[10, 11, 11]   [12, 5, 3]   
[10, 11, 12]   [4, 3, 10]   
[10, 12, 10]   [5, 1, 4]   514
[10, 12, 11]   [10, 12, 11]   
[10, 12, 12]   [2, 10, 5]   
[11, 10, 10]   [3, 8, 3]   383
[11, 10, 11]   [8, 6, 10]   
[11, 10, 12]   [0, 4, 4]   
[11, 11, 10]   [1, 2, 11]   
[11, 11, 11]   [6, 0, 5]   605
[11, 11, 12]   [11, 11, 12]   
[11, 12, 10]   [12, 9, 6]   
[11, 12, 11]   [4, 7, 0]   470
[11, 12, 12]   [9, 5, 7]   957
[12, 10, 10]   [10, 3, 5]   
[12, 10, 11]   [2, 1, 12]   
[12, 10, 12]   [7, 12, 6]   
[12, 11, 10]   [8, 10, 0]   
[12, 11, 11]   [0, 8, 7]   
[12, 11, 12]   [5, 6, 1]   561
[12, 12, 10]   [6, 4, 8]   648
[12, 12, 11]   [11, 2, 2]   
[12, 12, 12]   [3, 0, 9]   309

On retrouve bien nos 11 entiers récalcitrants à 3 chiffres !

J'ai un début mais pas j'ai l'impression que c'est beaucoup plus lourd qu'utile et sous réserves d'erreurs de calcul...Bonne piste ?

Notre tableau d'impossibilités :
         10      11      12
1        10      11      12
10        9        6       3
100       12      8       4

abc  [13] = 100a [13] + 10b [13] + c [13]

c ne peut pas prendre les valeurs 10,11,12 [13]
Donc si 100a [13]+ 10b [13]<> 1,2,3, on pourra trouver c assurant la divisibilité par 13.  On trouve donx les conditions :

100a [13] + 10b [13] = 3   --> (1,2) et (2,1) (3,0)  solutions de (100a [13], 10b [13] )
100a [13] + 10b [13] = 16   --> (9,7)
100a [13] + 10b [13] = 2  --> (2,0), (1,1)
100a [13] + 10b [13] = 15  --> (7,8)
100a [13] + 10b [13] = 1  --> (1,0)
100a [13] + 10b [13] = 14  --> (9,5) ,(7,7), (6,8)

On a donc un maximum de 11 couples (a,b) possibles pour que abc puisse être récalcitrant.

On pourrait alors recommencer sur les couples (a,c) et (b,c) et croiser les résultats pour conclure ?

Bon je n'ai pas fait dans la finesse...

J'ai appliqué la méthode décrite précédemment (mail il y a avait des oublis pour former le tableau suivant  des couples possibles pour que le nombre soit récalcitrant

isolé    val    manq    100a    10b    c
c    12    1    1    0    
c    11    2    1    1    
c    10    3    1    2    
b    9    4    1         3
b    6    7    1         6
b    3    10    1         9
c    11    2    2    0    
c    10    3    2    1    
c    12    14    2    12    
b    9    4    2         2
b    6    7    2         5
b    3    10    2         8
c    10    3    3    0    
c    12    14    3    11    
c    11    15    3    12    
b    9    4    3         1
b    6    7    3         4
b    3    10    3         7
c    11    15    5    10    
c    10    16    5    11    
b    6    7    5         2
b    3    10    5         5
c    12    14    6    8    
c    10    16    6    10    
b    6    7    6         1
b    3    10    6         4
c    12    14    7    7    
c    11    15    7    8    
b    6    7    7         0
b    3    10    7         3
c    12    14    9    5    
c    10    16    9    7    
b    3    10    9         1
b    9    17    9         8
c    12    14    10    4    
c    11    15    10    5    
b    3    10    10         0
b    9    17    10         7
c    11    15    11    4    
c    10    16    11    5    
b    9    17    11         6
b    6    20    11         9
a    12    1         0    1
a    8    5         0    5
a    4    9         0    9
a    12    1         1    0
a    8    5         1    4
a    4    9         1    8
a    8    5         2    3
a    4    9         2    7
a    8    5         4    1
a    4    9         4    5
a    8    5         5    0
a    4    9         5    4
a    12    14         5    9
a    4    9         7    2
a    12    14         7    7
a    4    9         8    1
a    12    14         8    6
a    12    14         10    4
a    8    18         10    8
a    12    14         11    3
a    8    18         11    7
a    12    14         12    2
a    8    18         12    6


Pour qu'un nombre soit récalcitrant il faut donc trouver les triplets (1100a, 10b, c) dont les 3 combinaisons sont toujours différentes de 0

J'ai trouvé les suivant mais je pense que j'en ai raté un (première colonne les valeur des chiffre * 1,10,100  modulo 13, la deuxième étant  le nombre en système décimal.

109    309
123    389
205    605
218    648
301    901
3 11 7    957
6 8 1     561
6 10 4    514
10 5 0    470
11 5 9     779