Modulo 19 on doit avoir tout du long du nombre abcd=0 et bcde=0 donc en notant X=bcd
1000a + X = 0 donc X=7a
10X + e = 0 donc 10X=-e
on a donc e=6a

par conséquent les valeurs de a et e sont assez limitées

a peut prendre les valeurs [1 4 7] (les antécédents) et e prend alors les valeurs [6 5 4 ] (les résultats)


Pour avoir la plus grande valeur possible on commence par placer un maximum du plus grand antécédent : 7. (On vérifiera par la suite que l'on ne peut pas faire un plus longue chaine avec un autre)

On ne peut pas en placer quatre 7 à la suite car 7777 n'est pas divisible par 19. On en met 3 et on force 1 en 4eme nombre pour assurer la divisibilité (il est lui même antécédent).
Les 4 sont à nouveau antécédent donc on peut continuer mais on doit s’arrêter car les 5 ne sont pas antécédents...

La suite s’enchaîne donc jusqu'à bloquer :
777-1- 444- 6- 555

On peut se demander si on peut, en commençant par un autre nombre faire mieux...

1--->6 qui n'est pas antécédent. 4--->5  qui n'en est pas un non plus... donc 7 est bien le meilleur point de départ car non seulement c'est le plus grand nombre mais celui qui mène à la chaine la plus longue.