Bon il est tard, je n'ai pas dit mon dernier mot mais c'est un début. Par contre pour faire le calcul à la main ce n'est peut-être pas la bonne idée.

On se place dans le plan complexe Spoiler : [Afficher le message] oui je sais qu'à l'heure qu'il est ce n'est pas une bonne idée et on définit l'origine par [latex]a_0=0+0i[/latex].

On suppose que le taon tourne de [latex]\phi[/latex] degrés à chaque fois.

On a donc si mes calculs sont bons :
[TeX]a_n = \left( \prod_{k=1}^{n-1}a_k \right)\times \exp(i(n-1)\phi)+n! \times \exp(i(n-1)\phi)[/TeX]
Dont-il "ne reste plus qu'à prendre le module" voilà voilà

Bonne nuit !

Bonjour,
Après 12 déplacements, le taon s'est déplacé de [latex]6[/latex] mètres vers la gauche, et de [latex]6*(2+\sqrt{3}) = 22.392[/latex] mètres vers le bas, soit une distance de [latex]12\sqrt{2+\sqrt{3}} = 23.182[/latex] mètres.
Après 2016 déplacements, le taon aura fait 168 tours, et sera à une distance de [latex]2016\sqrt{2+\sqrt{3}} = 3894.613[/latex] mètres de son point de départ.

Sauf erreur bien sûr, car ça ne valide pas la case réponse…

Bravo Enigmatus et Gwen

Vasimolo

PS : j'ai corrigé la case réponse qui était mal arrondie

bonjour.

une réponse:
[TeX]d = 2016 \times{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} \approx 3895[/TeX]

Chaque tour de spirale est composée de 360/30=12 segments.
Génial: 2016 est divisible par 12: ça facilitera les calculs.
A chaque tour, l'abscisse diminue de 6, l'ordonnée diminue de 6.(2+V3) et
la distance au point de départ augmente de V(dx²+dy²) = 12.V(2+V3) que
l'on peut aussi écrire 6.(V6+V2)
Au bout de 2016/12=168 tours, cette distance sera de 1008.(V6+V2) soit
env. 3895, validé par la case-réponse.

Si le mouvement est plan, les coordonnées cartésiennes du taon varient à chaque étape des quantités :
[TeX]\Delta x_1 = 1[/TeX]
[TeX]\forall n \geq 2, \Delta x_n = n \mathbb{cos}(n\theta)[/TeX]
[TeX]\Delta y_1 = 0[/TeX]
[TeX]\forall n \geq 2, \Delta y_n = n \mathbb{sin}(n\theta)[/TeX]
Ce qui nous donne en partant de l'origine après n déplacement :
[TeX]x = 1 + \sum_{k=2}^n k \mathbb{cos}(k\theta)[/TeX]
[TeX]y = \sum_{k=2}^n k \mathbb{sin}(k\theta)[/TeX]
Et donc :
[TeX]d = \sqrt{(1 + \sum_{k=2}^n k \mathbb{cos}(k\theta))^2+(1 + \sum_{k=2}^n k \mathbb{sin}(k\theta))^2}[/TeX]
Quantité que l'on doit pouvoir écrire explicitement après des calculs laborieux à base d'exponentielle complexe

Application pour [latex]n = 2016[/latex] et [latex]\theta = 30°[/latex] :
[TeX]d = \frac{\sqrt{2}}{2}(2017 \sqrt{3} + 2015) \approx 3895 \mathbb{m}[/TeX]

Salut Vasimolo,
Est ce un problème qui pourrait être proposé aux 3èmes ? Je ne sais plus si les sommes vectorielles sont abordées au collège...
3895 est validé.
Bien sûr on ne va pas calculer toutes les coordonnées des points intermédiaires, car une somme vectorielle est commutative.
Le calcul est facilité par le fait qu'il n'y a que 12 orientations de vecteurs. Donc on fait le calcul de tous les vecteurs de même orientation. En constatant que 2016 est un multiple de 12 (168 fois 12) on se rend compte qu'on fait 168 "tours" complets. Et chaque tour décale de façon identique le point origine. Le point origine est  décalé de 12V(2+V3) donc 168 fois cette valeur donne la réponse. A noter que tous les points intermédiaires de rang n+12k sont alignés.

I've started learning Python , so here we go

import sys
sys.setrecursionlimit(3000)
import cmath as c
def taon(k):
    if k==0: return complex(0,0)
    else: return taon(k-1)+k*c.exp(1j*(k+1)*c.pi/6)
print (abs(taon(2016)))

La réponse est 3894.6129315982894

J'avais pratiquement fait comme Gwen

On prend les 12 premiers déplacements qu'on amène en O et on ajoute les vecteurs opposés . On obtient alors 6 vecteurs de longueur 6 :



On ajoute ensuite les vecteurs de même couleur et on finit avec Pythagore . On remarque que chaque cycle de 12 déplacements reproduit exactement le dessin ci-dessus , il reste à compter 168 fois la longueur [latex]6\sqrt{2+\sqrt{3}}[/latex] pour finir .

Merci aux participants pour leurs solutions variées

Vasimolo

Il faudrait préciser ta question , le cas général est sûrement sans fond

Avec [latex]a,b,c,d[/latex] entiers , ça c'est déjà pas mal : [latex]\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{c}+\sqrt{d}[/latex]

Vasimolo

Pour eviter que le poseur d`enigme dise n`importe quoi apres avoir recu des reponses diverses, il faut introduire une regle stricte :
- envoyer la solution detaillee aux administrateurs du site, a plusieurs de preference au moins 2.
- envoyer un historique bref de la construction de l`enigme si elle est originale ou donner le site ou l`enigme a ete POMPEE.

Sinon, c`est la porte ouverte aux mythomanes pathologiques.
Vasimolo a ete pris la main dans le sac par Bell63 (alias Agid1915)
Il a recopie texto la solution sur AOPS en disant avoir fourni un gros effort.

Faut faire le menage si vous voulez que le site soit credible.

@Vasimolo
Je pensais effectivement aussi à: V(a+Vb) = Vc + Vd
On trouve: c = [a-V(a²-b)] / 2 et d = [a+V(a²-b)] / 2
Ces nombres sont positifs , mais pas nécessairement
rationnels .

@Bell63 (alias Agid1915)
Personnellement ce site me convient comme il l'est et
j'y suis presque tous les jours.