$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$
Et $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$
Donc $xy=\frac{a^2-b}2$
et $x^3+y^3=a(b-\frac{a^2-b}2)$
$$x^3+y^3=\frac{a(3b-a^2)}2$$

Mon flair des identités remarquables m'a sauvé sur celle-là

Je commence par récupérer la valeur de $xy$, parce que j'en aurai besoin ensuite :
$$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \Rightarrow xy = \frac 12 [ (x+y)^2 - (x^2+y^2) ]$$
Donc $xy = \frac 12 (a^2-b)$

Maintenant, passons à la puissance supérieure :
$$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3 \Rightarrow x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y)$$
Et hop : $x^3+y^3 = a^3-\frac 32 (a^2-b) a$

En développant un chouia : $x^3+y^3 = \frac 32 ab - \frac 12 a^3$ (j'ai vérifié, ça marche).


Une question pas très dure mais intéressante, j'aime beaucoup !

Merci, Mathias. J'essaie au maximum de diversifier la nature des problèmes. ... et bonne réponse, bien sûr !

$$(x+y)(x^2+y^2)=(x^3+xy^2+yx^2+y^3)$$
Donc
$$x^3+y^3 =(x+y)(x^2+y^2)-xy^2-yx^2 =(x+y)(x^2+y^2)-xy(x+y) =(x+y)(x^2+y^2-xy) =(-\frac1{2})(x+y)(-2x^2-2y^2+2xy) =(-\frac1{2})(x+y)((x+y)^2-3x^2-3y^2) =(-\frac1{2})(x+y)((x+y)^2-3(x^2+y^2)) =(-\frac1{2})a(a^2-3b)$$

x^3+y^3= a/2   * (3b-a^2)

1) $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3 x y^2 + y^3$
2) $(x+y)^2=x^2+2xy+ y^2 = b + 2 xy$
1) --> $x^3+y^3=a^3- 3xy(x+y)$
2 ) --> $xy = (a^2-b)/2$

Sauf erreur de transcription : $x^3+y3 = a^3-3a(a^2-b)/2$

Joli !

(Il y avait effectivement une petite erreur de retrancription dans une étape.)

a³ = (x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³ = (x³+y³)+3xy(x+y) = (x³+y³)+3axy (1)

(x+y)² = x²+2xy+y²  , ou encore: a² = b+2xy , et donc xy = (a²-b)/2 (2)

On utilise (2) dans (1) :

a³ = (x³+y³)+3a(a²-b)/2 , ou encore: (x³+y³) = a³-3a(a²-b)/2

(x³+y³)=a³-3a³/2+3ab/2 , soit après simplification : x³+y³ = a(3b-a²)/2

On a $x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)$ et $2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)$ donc $x^3+y^3=\frac{3ab-a^3}{2}$

Vasimolo

$$(x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+x^2y+y^2x[/latex] d'où [latex]x^2y+y^2x=ab-(x^3+y^3)[/latex] et [latex](x+y)^3=x^3+y^3+3(x^2y+y^2x)[/latex] donc [latex]a^3=x^3+y^3+3(ab-(x^3+y^3)[/latex] donc [latex]2(x^3+y^3)=3ab-a^3[/latex] donc [latex]x^3+y^3={{3ab-a^3}\over 2}$$

(x+y)²=x²+y²+2xy

Donc :
a²=b+2xy
xy=(a²-b)/2  (1)

Or x³+y³=(x+y)(x²+y²-xy)

Donc x³+y³=a(b-xy)

En remplaçant xy par l'expression calculée en (1), on obtient :

x³+y³
=a(b-(a²-b)/2)
=a(3b-a²)/2
=(3ab-a³)/2

$$x^3+y^3=\frac{a(3b-a^2)}2$$

J'étais tenté de répondre $x^3+y^3=c$ tout simplement, mais je suppose que tu cherches la valeur de c en fonction de a et b.
$$x+y=a \\ x^2+y^2=b$$ $$(x+y)(x^2+y^2)=ab\\ x^3+yx^2+xy^2+y^3=ab$$
et
$$(x+y)^3=x^3+3yx^2+3xy^2+y^3=a^3\\$$
Donc $2yx^2+2xy^2=a(a^2-b)\\ yx^2+xy^2=\frac{a}{2}(a^2-b)$

Donc : $x^3+y^3=ab-\frac{a}{2}(a^2-b)=\frac{3ab}{2}-\frac{a^3}{2}\\$