OA= 2,828 =2*(2^1/2)

cote si sphère tangente = 4(1+2^1/2)/(7^2)

Le centre de la sphère de rayon 1 se trouve à [latex]\sqrt3\approx 1.7[/latex] du sommet des trois faces à la quelle elle est tangente.

Un tétraèdre régulier de coté =[latex] \sqrt2(1+\sqrt3)\approx 3.86[/latex] contient une sphère de rayon 1

Demonstration
soit un triangle équilatéral de cote 1 formant la base du tétraèdre.
sa hauteur a pour longueur [latex]\sqrt3/2[/latex]

Prenons la section de tétraèdre passant par son sommet et une hauteur de la base.



Le triangle ainsi formé a pour cotés:
base = [latex]\sqrt3/2[/latex]
gauche = hauteur du triangle rectangle = [latex]\sqrt3/2[/latex]
droite = un cote de triangle = [latex]1[/latex]

La hauteur verticale de ce triangle qui s’élève vers le sommet du tétraèdre découpe la base en trois parties égales (symétrie de l'objet). [latex]AH = 2 HB = \sqrt3/6[/latex] ce qui donne une hauteur de [latex]\sqrt6/3[/latex]

le rayon du cercle inscrit = 2S / (a+b+c) = [latex]\frac{\sqrt(2)}{2(1+\sqrt3)}=\frac{\sqrt2 (\sqrt3-1)}{4}[/latex]

La distance AO est donc
[TeX]sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}-r=(3/4-1/4)^{1/2}-\frac{\sqrt2 (\sqrt3-1)}{4}=\frac{\sqrt2 (3-\sqrt3)}{4}[/TeX]
ce qui donne pour une sphere unitaire les valeurs
AO = [latex]=\frac{\sqrt2 (3-\sqrt3)}{4} / \frac{\sqrt2 (\sqrt3-1)}{4} = \frac{ 3-\sqrt3}{\sqrt3-1}=\sqrt3[/latex]
et un cote = 1/r = [latex] \sqrt2(1+\sqrt3)[/latex]

Bah, Google => sphère inscrite tétraèdre régulier => 3ème lien...

Barbabulle a écrit:

Bah, Google => sphère inscrite tétraèdre régulier => 3ème lien...

Ok j'ai vu... tu fais confiance à ce genre de page ? Et puis la typographie est tellement pourrie que je n'aurais même pas pris la peine de la lire en détail :-)

Ah parce qu'EN PLUS tu fais confiance à SaintPierre quant à l'utilisation de nos calculs ???