Vu qu'on peut toujours faire rentrer un carré dans un triangle rectangle quelconque, on peut paver un rectangle quelconque par une infinité (dénombrable ?) de carrés, non ?

Proposition:
Soient:
[TeX]a=BC[/latex],
[latex]b=AC[/latex],
[latex]c=AB.[/TeX]
[TeX]\alpha[/latex]=angle en A,
[latex]\beta[/latex] = angle en B et
[latex]\gamma[/latex]=angle en C.

Grâce à Al Kashi on a:

[latex]\alpha=acos(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})[/TeX][TeX]\beta=acos(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})[/TeX][TeX]\gamma=acos(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})[/TeX]
Une rapide analyse à partir des équations des droites (AC) et (BC) permet de déterminer que le coté [latex]C_0[/latex] du plus grand carré est
[TeX]C_0=\frac{c*tg(\alpha)*tg(\beta)}{tg(\alpha)+tg(\beta)+tg(\alpha)*tg(\beta)}[/TeX]
L'aire du plus grand carré [latex]S_0=C_0^2[/latex].

Dans chaque angle le coté des carrés évoluer seront une suite géométrique de raison [latex]\frac{1}{1+tg(agl)}[/latex] où [latex]agl[/latex] est la mesure de l'angle en question. Les aires elles évoluent aussi comme une suite géométrique de raison [latex]q=(\frac{1}{1+tg(agl)})^2[/latex].

Les Carrés de l'angle en A
[TeX]q_\alpha=(\frac{1}{1+tg(\alpha)})^2[/TeX]
Somme des aires des carrés dans cet angle
[TeX]S_\alpha=\frac{S_0*q_\alpha}{1-q_\alpha}[/TeX]
Les Carrés de l'angle en B
[TeX]q_\beta=(\frac{1}{1+tg(\beta)})^2[/TeX]
Somme des aires des carrés dans cet angle
[TeX]S_\beta=\frac{S_0*q_\beta}{1-q_\beta}[/TeX]
Les Carrés de l'angle en C
[TeX]q_\gamma=(\frac{1}{1+tg(\gamma)})^2[/TeX]
Somme des aires des carrés dans cet angle
[TeX]S_\gamma=\frac{S_0*q_\gamma}{1-q_\gamma}[/TeX]
La surface totale ST des carrés est:
[TeX]ST=S_0+S_\alpha+S_\beta+S_\gamma[/TeX][TeX]ST=S_0*(1+\frac{q_\alpha}{1-q_\alpha}+\frac{q_\beta}{1-q_\beta}+\frac{q_\gamma}{1-q_\gamma})[/TeX]

Une petite question

Apparemment on empile les carrés à l'infini à gauche et à droite . Fait-on de même en haut ou se contente-t-on d'un seul carré ?

Vasimolo

Je crois que housseyne oublie de donner la solution à cette énigme comme il se doit...
A moins qu'il ne sache pas la résoudre !