Bonjour,

réponse à la question 1) :  1000
réponse à la question 2) :  13201256962

en attendant la suite...
Cordialement,
masab

J'ajoute un indice pour ceux qui auraient du mal à démarrer

Je n'avais pas pensé à ce type de demo. C'est vrai que c'est bien plus simple que ma démonstration, mais ça ne donne que la première solution.
Je posterai un autre indice demain.

Ce que j'ai pu trouver:
On pose
nk=a²-1
n(k+1)=b²-1
en éliminant n
(k+1)a²-kb²=1
en posant (a0,b0)=(1,-1) et (a1,b1)=(1,1) et
an=(4k+2)a(n-1)-a(n-2) et idem pour bn, on a la suite de tous les (ai,bi) solutions.

Et plus spécialement pour (a2,b2)=((4k+2)a1-1, (4k+2)b1+1)) qui se redémontre facilement.
Autrement dit les carrés impairs font tous partie de cet ensemble !
 
Le n correspondant à (a2, b2) vaut alors 4(4k+2). Pour k=1 n=24

Les (ai,bi) sont l'expression d'un polynome de degré i-1 dont le X est 4k+2.
a2=X.a1-a0
Ce polynome a une valeur +1 ou -1 en degré zéro. Si on met au carré et si on lui ôte 1, cette valeur fixe tombe, et il ne reste que des X, donc divisible par X.
Par ailleurs ces carrés sont impairs, si on ôte 1, ils sont divisibles par 4. Donc les ni=(ai²-1)/k sont divisibles par le plus petit n=4(4k+2).

NB
la suite n'a pas été démontrée, c'est un constat. Sauf pour (a2,b2) qui est assez simple.

Si; peut être n'as tu pas remarqué le couple de départ (a0;b0)=(+1;-1) ceci pour différencier par la suite les an des bn. J'aurais aussi bien pu ne faire démarrer l'algo qu'à partir du 3ème rang, mais cette astuce permet le démarrage à partir des 2 couples de départ a0b0 et a1b1, ce qui est bien nécessaire compte tenu que la suite a besoin des 2 an (ou bn) précédents.

Oui, j'ai corrigé après relecture, je pensais que ta remarque ne concernait pas cette formule là, ce en quoi j'avais tort apparemment.

On cherche les valeurs de n telles que
nk+1 = a²
et n(k+1)+1 = b²

On commence par remarquer que (k+1)a² =(k+1)nk + k+1 = k(n(k+1) + 1) + 1 = kb²+1
Autrement dit, (k+1)a²-kb² = 1

On pose alors c=a(k+1), et on obtient
c²-k(k+1)b² = k+1

Pour résoudre ce genre d'équations, il y a une chose à savoir:
Soit E l'ensemble des triplets (x,y,z) tels que x²-Dy² = z
Dans ce cas, si (p,q,r) et (x,y,z) sont deux triplets de E, alors (px+Dqy, py+qx, rz) en est un autre.

Pour résoudre ce genre d'équations, on commence par trouver une solution particulière (c,b,k+1) et une autre générale (c0, b0, 1); et on génère toutes les solutions grâce aux formules ci-dessus. On peut aussi montrer que toutes les solutions sont bien générées par cette méthode, mais ça n'est pas le but. Je pense que Wikipedia ou mieux Mathworld ont bien un article sur le sujet.

Ici, on cherche une solution particulière: vu que a=b=1 est une solution triviale, on va vérifier rapidement que b=1 et c=k+1 en est bien une:
(k+1)²-k(k+1) = k+1

Pour la solution générale, l'idée est d'appliquer la formule ci-dessus au triplet de la solution particulière et lui-même.
Du triplet (k+1, 1, k+1), on génère un autre triplet ((k+1)²+k(k+1), 2(k+1), (k+1)²)
Autrement dit, ((k+1)²+k(k+1))² - 4k(k+1)^3 = (k+1)²
En divisant par (k+1)², on obtient notre solution générale: c=2k+1 et b=2

L'ensemble des solutions est donc obtenu via les formules suivantes:
b_0 = 1, c_0 = k+1
c_(x+1) = (2k+1).c_x + 2k(k+1)b_x
b_(x+1) = (2k+1).b_x + 2.c_x

Comme on cherchait à la base a et b, on a alors:
a_0 = b_0 = 1
a_(x+1) = (2k+1)a_x + 2kb_x
b_(x+1) = (2k+1)b_x + 2(k+1)a_x

Partant de là, si je cherche les valeurs de n, je trouve, via la formule n = b²-a²:
n_0 = 0
n_(x+1) = b²_(x+1) - a²_(x+1)
= (4k+3)a²_x + (4k+1)b²_x + a_x * b_x * (8k+4)
= (4k+3)(k.n_x+1) + (4k+1)((k+1)n_x+1) + a_x * b_x * (8k+4)
= n_x (4k²+3k + 4k²+5k+1) + 8k+4 + a_x * b_x * (8k+4)
= n_x (8k²+8k+1) + (8k+4) (1 + a_x*b_x)
= n_x (8k²+8k+1) + (8k+4) (1 + sqrt((k.n_x+1)((k+1)n_x+1)))
= n_x (8k²+8k+1) + (8k+4) (1 + sqrt(k(k+1)n²_x+(2k+1)n_x+1))

On remarque juste que même si n_0 = 0 vérifie l'équation, il n'est pas accepté par l'énoncé. La plus petite valeur de n est donc n_1, qui vaut alors:
n_1 = 16k+8

On peut donc répondre aux questions:

1) n_1 est un multiple de 8 mais pas de 16. En binaire, il finit donc par 1000

2) n_1 = 16k+8 = 211220111400; donc k=13201256962

3) Une simple récurrence:
n_1 divise n_1.
Soit x tel que n_1 divise n_x, on a alors:
n_(x+1) = n_x (8k²+8k+1) + (8k+4) (1 + sqrt(k(k+1)n²_x+(2k+1)n_x+1))
n_1 = 16k+8 est pair, donc n_x aussi, et donc k(k+1)n²_x+(2k+1)n_x+1 est impair. Sa racine est donc impaire aussi et vaut 2q-1
Du coup, n_(x+1) = n_x (8k²+8k+1) + (8k+4)*2q = n_x (8k²+8k+1) + q*n_1
COmme n_1 divise n_x, il divise aussi n_(x+1)
CQFD.

4) A partir de n_x, on peut calculer n_(x+1). Autrement dit, en inversant la formule, on peut à partir de n_(x+1) retrouver n_x.
Les calculs sont un peu longs et bourrins, je laisse les sceptiques vérifier par eux-mêmes, toujours est-il qu'on trouve le résultat suivant:
n_(x-1) = n_x (8k²+8k+1) + (8k+4) (1 - sqrt(k(k+1)n²_x+(2k+1)n_x+1))
C'est quasiment la même formule sauf que le +sqrt est devenu -sqrt.
Partant de là, on peut faire disparaître la racine et trouver un résultat remarquable:
n_(x+1) * n_(x-1) = n_x (n_x-16k-8)
(En effet, (1+sqrt(x))(1-sqrt(x)) se simplifie en 1-x)

Du coup, si x,y, et z sont trois valeurs successives de n, avec x<y<z, on a:
xz = y(y-16k-8)


Quelques exemples:
Pour k=2, la plus petite valeur n est 40; en effet 2*40+1 = 9² et 3*40+1 = 11²
La valeur suivante est 40 * 49 + 20 (1+9*11) = 3960; en effet 2*3960+1 = 89² et 3*3960+1 = 109²
La suivante est (3960*3920)/40 = 388080; en effet 2*388080 = 881² et 3*388080+1 = 1079²
La suivante est (388080*388040)/3960 = 38027920; en effet 2*38027920+1 = 8721² et 3*38027920+1 = 10681²
etc...


Pour k=125, la plus petite valeurs est 2008; 2008*125+1 = 501² et 2008*126+1 = 503²
La suivante est 2008*126001 + 1004*(1+501*503) = 506022024; en effet 125*506022024+1 = 251501² et 126*506022024+1 = 252505²
La suivate est (506022024*506020016)/2008 = 127518562092048; 127518562092048*125+1 = 126253001² et 127518562092048*126+1 = 126757007²
La suvante est (127518562092048*127518562090040)/506022024 = 32134932683814260080
125*32134932683814260080+1 = 63378755001²
126*32134932683814260080+1 = 63631765009²
etc...