Bonjour,
Nouvelle tentative, on suppose que le tuyau est plus long que simplement le tour du rouleau. (étonnant vu qu'on ne voulait que le tour...)
On obtient alors la figure suivante:

Si l'on considère la longueur intérieure du tuyau (en rouge) on obtient:
[TeX]DE = \sqrt{DA^2 - EA^2} = \sqrt{50^2-49^2} = 3\sqrt{11}[/TeX]
[TeX]\widehat{DAE} = arcos(\dfrac{AE}{DA}) = arcos(\dfrac{49}{50})[/TeX]
[TeX]\widehat{DAE} = 2\pi - arcos(\dfrac{49}{50})[/TeX]
(angle rentrant)
[TeX]\overset{\smile}{EC} = \dfrac{2\pi - arcos(\dfrac{49}{50})}{2\pi} \times 98\pi[/TeX]
et donc finalement, la longueur du tuyau est [latex]CED = \dfrac{2\pi - arcos(\dfrac{49}{50})}{2\pi}\times 98\pi +3\sqrt{11} = 308.0 cm[/latex]

Si on considère la longueur du tuyau comme étant celle au milieu, on obtient de même
[TeX]HG = \sqrt{HA^2 - EGA^2} = \sqrt{51^2-50^2} = \sqrt{101}[/TeX]
[TeX]\widehat{DAE} = arcos(\dfrac{AG}{HA}) = arcos(\dfrac{50}{51})[/TeX]
[TeX]\widehat{HAG} = 2\pi - arcos(\dfrac{50}{51})[/TeX]
(angle rentrant)
[TeX]\overset{\smile}{GD} = \dfrac{2\pi - arcos(\dfrac{50}{51})}{2\pi} \times 100\pi[/TeX]
et donc finalement, la longueur du tuyau est [latex]DGH = \dfrac{2\pi - arcos(\dfrac{50}{51})}{2\pi}\times 100\pi +\sqrt{101} = 314.3 cm[/latex]
Je pense que cette dernière réponse est la plus correcte vu que l'on attendait une réponse plus grande que ma dernière.

EDIT:
Bon, zut...

Si le câble n'est pas extensible, ça ne peut être le diamètre moyen à prendre en compte (100 cm) car la partie extérieure est plus longue. Si on trace une ligne sur la partie extérieure du câble enroulé, celui ci se déploie sur un diamètre de 102 cm et c'est celui ci à prendre en compte. C'est la réponse la plus adaptée.

Pour le coup je ne suis pas d'accord : quand tu mesures ton câble avant de l'enrouler c'est la longueur de la fibre moyenne (qui est alors égale aux longueurs des fibres inférieure et supérieure) que tu mesures. En l'enroulant la fibre inférieure se déforme par compression et la fibre supérieure se déforme par traction ; seule la fibre moyenne conserve sa longueur !

nodgim, peux-tu nous faire un dessin de ta construction, parce que toujours en précisant que ton câble est non extensible, considérer la meilleure solution comme étant celle qui permet de joindre les extrémités par le cercle extérieur (de diamètre 102 cm) fait que les morceaux des extrémités se situant par exemple sur le bord du rouleau de diamètre 98 cm, devraient logiquement s'interpénétrer ce qui n'est pas plus physique.

Pour moi la solution au problème nécessiterai à la rigueur de couper les extrémités en biseau de manière judicieuse pour qu'on ne s'occupe que d'un cercle de diamètre 100 cm passant par le milieu du fil et qui serait la moyenne des diamètres des différents cercles.

Si on prend un matériaux type gaîne de câble électrique, on général c'est du PVC qui comme la plupart des matériaux a un coefficient de poisson (la page en anglais est de meilleure qualité pour ceux souhaitant approfondir) positif. Ce qui signifie qu'il se dilate tangentiellement lorsqu'on les comprime et réciproquement lorsqu'on les étire.

Donc si les extrémités ne sont pas autorisées à s'interpénétrer, le câble devrait se soulever un petit peu au niveau du diamètre de 98 cm là où les deux extrémités ne peuvent s'interpénétrer et donc rendre le problème encore un peu plus compliqué

On peut assimiler le câble (c'est sans doute un peu tiré par les cheveux) à un chapelet de jetons empilés, dont chacun est percé de plusieurs trous sur la périphérie et relié à ses 2 voisins par des petites attaches métalliques. Si on ne vrille pas ce chapelet, seules les attaches extérieures sont tirées à leur max quand on l'enroule . En vrillant, on obtient bien une augmentation de longueur circulaire, tout en diminuant très légèrement le linéaire.

Avec un vrai câble, c'est vrai que ça ne se vérifie pas, celui ci ne se laissant pas forcément vrillé.

En réalité, si on fait un test réel (ce que j'aurais dû faire avant) avec un bout de câble enroulé autour d'une boite circulaire, c'est bien plutôt le dessin de caduk qui reflète le mieux ce qu'il se passe: la jointure est en biseau. Et la torsion n'arrange pas la situation...

Et après le mec donne des conseils de prendre des bouts de tuyaux et d'essayer soi-même

bonjour RICK1,
je crois que tu n'as pas très bien cerné le problème, on ne demandait qu'un seul tour de tuyau (à la surface du toron, et non dans tout le toron) et l'astuce attendue pour le résoudre est décrite plus haut. Malheureusement, le résultat ne fait pas l'unanimité à cause de l'interprétation physique et philosophique du problème.

Néanmoins ton problème est intéressant, et ta manière de le résoudre donne une très bonne approximation. Si tu veux le résoudre de manière plus précise, en calculant la longueur de la sirale) si tu as quelque bases en calcul d'intégrales, tu peux regarder la spirale d'archimède et son intégration.
En passant au DL (approximation), on obtient normalement que la longueur d'une spire est la moyenne des deux cercles l'encadrant avec une bonne précision (1/n^3). On en déduit que ta méthode de départ était un très bonne approximation

Tu peux nous poster une vidéo ?

Quand on tord un cable electrique composé de plusieurs fibres, les fibres ne se compresse pas à l'interieur et ne s'étirent pas à l'exterieur. mais plutot comme les fibres sont enroulées à l'interieur du cable et vont successivement de l'interieur à l'exterieur du tore, elles ce deplacent dans le cable. Ce qui ne change pas pendant l'enroulage c'est le volume. Donc résoudre le problème en passant par les volumes du cylindre original est du tore final est, à mon avis, la meilleure facon d'y arriver...