Je note que l'on peut toujours inserer un triangle n*n*n dans un pentagone convexe n*n*n*n*n mais également dans un heptagone (7 cotés), un enneagone (9 cotés) et un hendécagone (11 cotés)...
Mais pas forcement dans un hexagone (6 côtés), un octogone (8 côtés), un décagone (10 côtés) ou un dodécagone (12 côtés) qui peuvent être "plat"...

ou vais-je un peu trop vite en besogne?

Ca peut faire l'objet d'une extension à cette énigme...
Mais je pense que non, qu'on ne peut pas aplatir de telle maniere qu'on ne puisse plus inserer un triangle dans un polygone de taille impaire.

Je donne raison à Dhrm77, on ne peut pas aplatir un polygone à 2n+1 cotés de longueur 1, à moins d'une hauteur d'un triangle équilatéral de coté 1. Ce min est obtenu avec un trapèze. Mais la preuve....

Tu me surprends ici. Dans on problème original on avait un triangle de 9x9x9 et un pentagone de 9x9x9x9x9. ou si on simplifie... 1x1x1 et 1x1x1x1x1.
Ici pourquoi changer le triangle pour un 2x2x2 et garder un polygone de 1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1 ?
Si tu gardes le côté du triangle de la même longueur que le côté du polygone, alors ca passe toujours pour un polygone de taille impaire (inférieure ou supérieur a 15...).
Pour que ca ne passe pas, il faut le dessiner concave quelque part...
et dans ton dessin, le segment a droite fait [latex]\sqrt{3}[/latex] ...

Pour des raisons de symétrie je n'avais représenté que la moitié du polygone



J'aurais dû préciser .

Vasimolo

Oui , je suivais plusieurs lièvres à la fois et j'ai clairement perdu le fil de ce que je faisais 

Je n'ai vraiment pas le temps ce soir mais il me semble qu'un triangle de côtés 2,n et n+1 s'écrase très vite et comme 2n+3 est impair ...

Affaire à suivre en tout cas .

Vasimolo

Une preuve ?

On place les sommets A et B de la plus longue diagonale sur une horizontale. Il y a 2 chemins pour rejoindre B depuis A en suivant le polygone.  Par convention, on pose que le chemin le plus court passe sous AB.
On trace la ligne de crête du chemin court. La ligne de crête, c'est la courbe que décrit le sommet d'un triangle équilatéral dont la base glisse sur le chemin. Un point de crête, c'est le point de la ligne quand la base du triangle est confondue avec un segment.
On ne peut pas placer de triangle dans le polygone si le chemin long (au dessus de AB) passe intégralement sous la ligne de crête, ou si tous les points de crête sont en dehors du polygone.

1er cas)
Le chemin le plus court est confondu avec AB.
Le 1er segment en A du chemin long ne peut être incliné à plus de 60° avec AB, car sinon son point de crête serait à l'intérieur du polygone. Idem pour le dernier segment. Or on sait qu'un chemin long passe juste sur la ligne des crêtes: c'est la configuration du trapèze isocèle, avec chemin court à n segments et chemin long à n+1segments. Comme tout chemin passant sous la ligne est forcément plus court que le chemin de crête, le tracé du chemin long sous la ligne de crête est impossible.

2ème cas)
Le chemin court n'est pas confondu avec AB. Alors les points AB sont resserrés, la ligne de crête est plus proche de la ligne AB, le chemin long exige plus de détour. La contrainte pour faire passer le chemin long sous la ligne de crête est donc plus sévère, on ne peut pas davantage tracer ce chemin.

Il n'y a donc aucune configuration qui permette d'empêcher l'insertion d'un triangle dans le polygone à 2n+1 cotés.

C'est le triangle isocèle  n, n, 1 qui réalise l'aire minimale.

De toute façon, la piste des aires pour établir la preuve me semble bien compromise. La forme trapèze a tout de même la particularité d'être la forme de plus faible largeur. Elle nous dit que si l'on voulait placer un triangle un chouia plus grand, il ne passerait pas (ni avec la forme triangle, du reste).

Sinon, Vasimolo (ou d'autres), où bloques tu dans la descrpition de ma preuve ?
C'est une preuve par l'absurde, où l'on s'efforce de ne jamais faire rentrer un triangle à l'intérieur du polygone.