Sans réfléchir, j'ai testé 2017. C'est la mode

Deux chiffres => N = 33.a = 32.b => impossible
Trois chiffres => N = 1025.a + 32.b = 962.c + 31 d
Un tableur donne: N = 1025 x 1 + 32 x 31 = 962 x 2 + 31 x 2 = 2017
Ce nombre s’écrit: 1-31-1 en base 32 et 2-3-2 en base 31
Merci pour ce petit divertissement.

J'ai un 15919 qui s'écrit 16 17 16 en B31 et 15 17 15 en B32.
Mais ce n'est pas validé....

Sinon 2017 c'est mieux ( 232 en b31, 1 31 1 en b32)
Et c'est bien le plus petit possible !

Soit n un nombre vérifiant ces conditions.

Supposons que le nombre s'écrit en base 32 avec 2 "chiffres".
Ces 2 chiffres sont identiques car c'est un palindrome en base 32 : a.a(32)
Alors n = 32.a + a = 33a, avec 1 <= a <= 31
Conséquence : 33 <= n <= 1023

On veut donc que ce nombre soit aussi un palindrome en base 31.
Si il s'écrit b.b(31), alors n = 32b, 1 <= b <= 30
Mais 33a = 32b est impossible pour 1 <= a <= 31 et 1 <= b <= 30
Donc il s'écrit avec au moins 3 chiffres : b.c.b(31). Soit n = 31*31*b + 31*c + b
L'encadrement de n impose que b soit égal à 1
On a alors 33a = 962b + 31c
Si on applique un module 31 : 2a = b [31]
3 cas possibles seulement, d'après les encadrements de a et b :
1/ b = 2a, alors 33a = 962(2a) + 31c => impossible
2/ b = 2a-31, alors 33a = 962(2a-31) + 31c => 61a + c = 962. Implique c = 47 [61] ce qui est impossible d'après l'encadrement de c
3/ b = 2a-62, alors 33a = 962(2a-62) + 31c => 61a + c = 1924. Implique c = 33 [61] ce qui est impossible d'après l'encadrement de c

Donc le nombre cherché s'écrit nécessairement avec au moins 3 chiffres en base 32
Je passe les calculs et les hypothèses des différents cas possibles, c'est pas très passionnant.
Mais en cherchant un nombre de la forme 1.a.1 (32), on finit par trouver le plus petit nombre possible : 1.31.1 (32) s'écrit aussi 2.3.2 (31)

Et ce nombre vaut ... 2017 !
Bonne année

Et dire que j'ai pris la peine de faire un programme pour trouver la réponse... ce n'est pas la question, mais le suivant est 3010

Bonjour,
a deux chiffres pour les deux:
n*33 = p*34 impossible (n est de la forme k*34 et p de la forme k'*33, k=0 impossible k=1 trop grand)

trois chiffres en base 32, 2 en base 33:
n*(32²+1) + 32*p = 34q
si q = 32, 34*32 = 32²+32*2 , n ne peut pas être à la fois 1 et 0.
q = 31, 34*31 = 32² + 32*2 - 34 = 32² + 32 - 2= 32² + 30 non
q = 30 trop petit

trois chiffres dans les deux cas:
n(33²+1)+33p = q(32²+1)+32r
donc 33p - 32r + (n-q)(32²+1) + 65n = 0
supposons n = q:
alors 32(p - r + 2n) + p + n = 0
p+n< 64 donc p+n = 32 donc p-r+2n = 1 donc 32 -r +n = 1 donc r-n = 31 impossible car r inférieur à 31 et n supérieur à 1

trois et 4 chiffres
étude de cas comme avant, impossible

grrr...

Mince, qu'est ce que j'ai fait...
Bon, on retrouve quand même les même résultats en utilisant la même méthode.
J'ai oublié d'écrire le cas ou n-q est non nul.
soit n-q = 1
On a alors 31(p - r) + p + (n-q)(31²+1) + 63*n = 0
or  (n-q)(31²+1) + 63*n = 0 < 31*31+1+63*2 = 1088
1088/31 = 35,097
31(p - r) est la division euclidienne par 31 car p est inférieur à 31 donc p-r > 35 impossible...

Maintenant, réétudions le cas de 3 et 4 chiffres (avec des détails cette fois ci...)
écrivons a|b|c la concaténation des chiffres a b et c:
31|31|31 s'écrit en base 31:1|3|3|0
qui n'est pas un palindrome.
Les plus petit palindrome en base 32 du plus grand au plus petit sont successivement: 31|31|31, 31|30|31, 31|29|31, 31|28|31...
On retire 32 à chaque étape soit une 31-aine et une unité en base 31.
On obtient donc successivement 1|3|3|0, 1|3|2|30, 1|3|1|29
La différence entre unités est toujours -3 ou 28
La différence entre les 31²-aines et les 31^3-aines est soit 2,1ou 0, donc on n'obtiendra pas de palindrome.

Plus petit, on a ensuite 30|31|30 qui donne 1|2|0|29 qui ne marche pas (écart de 29 ou de 2)
Ensuite, on a 29|31|29 qui donne 1|1|29|27 marche pas
Ensuite, on est trop petit...

quatre chiffres dans les deux cas:
(32^3+1)p + (32²+32)q = (31^3+1)m + (31²+31)n
donc (31^3+1)(p-m) + 2977p +  (31²+31)(q-n) + 64q = 0
Si p = m
2977p +  (31²+31)(q-n) + 64q = 0
comme pgcd(30²+30*k, 64) = 1 ou 2 , donc p = 0 ou 32
or p ne peut pas être nul, et est inférieur à 31 donc pas de solutions...

Si p - m non nul:
si p-m = -1:
2977p + 64q + (31²+31)(q-n) = (31^3+1)
Or de même, pgcd((31^3+1)k + (31²+31)r , 64) = 1 ou 2 donc pas de solutions

J'espère que je n'ai toujours pas loupé la solution...

Edit:
Je me suis gouré sur ma partie avec trois chiffres

on a p + 63n < 30 + 63*30 = 1920
en étudiant les cas possible pour la valeur de p-r, on trouve 2146, merci scrablor...

Comme je n'ai pas vos connaissances en mathématiques (d'ailleurs je ne comprends rien à vos explications), j'ai fait le bourrin dans dcode : changement de base N, et j'ai entré tous les palindromes de la base 31, jusqu'à ce que je trouve celui de la base 32. Pas très élégant, mais ça fonctionne !