C'est une bonne réponse, bravo halloduda !

Pardon de ne pas avoir complété la case réponse dans l'énoncé, ce n'est pas l'essentiel de l'énigme....

Il te reste à donner une réponse sur le cas général.

Je trouve respectivement 22 et 23 façons de décomposer 1/60 en différence et en somme de 2 fractions égyptiennes, mais je n'ai pas trouvé d'autre méthode qu'un bête tableur

Je pense qu'il y a exactement 1 façon de plus de décomposer une fraction égyptienne 1/n en sommes qu'en différences de 2 fractions égyptiennes, correspondant à 2 termes identiques possibles uniquement avec la somme, mais je ne peux pas le démontrer rigoureusement

Bonjour,
il y a 22 façons possibles, que l'on trouve sous la forme
1 / [ (p-q)*60/p ] - 1 / [ (p-q)*60/q ] = 1/60 ou p et q sont les diviseurs de 60.
Pour chaque paire de diviseurs (p,q), on trouve donc une solution.
Pour n'obtenir chaque solution une fois, il faut prendre p et q premier entre eux.
En effet, s'ils ont un facteur n en commun, il est facile de voir que l'on peut diviser en haut et en bas par n, et que l'on retombe sur une solution déjà trouvée.
Inversement, s'ils sont premier entre eux, les dénominateurs sont 60 - 60q/p et 60p/q - 60, et l'on voit directement que ces solutions sont alors uniques (fractions irréductibles)

Pour la première question, on cherche a et b tels que 1/a - 1/b = 1/60. En posant x = 60-a, ceci devient x/(60*(60-x)) = 1/b. Il faut donc que le numérateur x de la fraction de gauche se fasse simplifier entièrement par le dénominateur.

Si x contient un facteur premier autre que 2, 3 ou 5, ce facteur ne sera contenu ni dans 60 ni dans 60-x, donc ce n'est pas possible. De plus x est plus petit que 60 : il suffit donc de tester les entiers inférieurs à 60 dont les facteurs premiers ne sont que 2, 3 ou 5, et on trouve 22 réponses.

Pour la deuxième question, si on a une décomposition sous forme de différence, c'est qu'il existe x tel que 1/n = 1/(n-x) - x/(n*(n-x)), avec le numérateur x de la dernière fraction se simplifiant entièrement.

Alors on peut aussi écrire 1/n = 1/(n+x) + x/(n*(n+x)), et le numérateur x de la dernière fraction se simplifie entièrement, car n*(n+x) = n*(n-x) + 2n*x. Donc de toute décomposition sous forme de différence, on peut déduire une décomposition sous forme de somme : il y a plus de décompositions en sommes qu'en différences.

@ Caduk: ton dénombrement est bon, ta formule aussi, en revanche, je ne vois pas très bien comment tu pourras dénombrer ça dans le cas général.

En comptant le nombre de couples de diviseurs premier entre eux, on peut montrer par récurrence la formule suivante:
[TeX]N =(3^k-3^{k-1})\sum \limits_{s \in \mathcal{P}( [\![ 1,k]\!])} \left( \left( \dfrac{2}{3} \right) ^{|s|-1} \prod \limits_{i\in s} (p_i-1) \right) + 3^{k-1}[/TeX]
Où N est le nombre de couples (n,m) de diviseurs premiers entre eux, doublons compris ( (n,m) et (m,n) ) et (1,1) compris.
Le nombre recherché est donc (N-1)/2
k est le nombre de diviseurs premiers distincts, [latex]\mathcal{P}( [\![ 1,k]\!])[/latex] est l'ensemble des sous ensembles de nombres entiers compris entre 1 et k et [latex]p_i[/latex] est la multiplicité du i-ème facteur premier.

On peut s'apercevoir que beaucoup de termes s'annulent pour les facteurs de multiplicité 1. On peut donc réduire la somme aux facteurs de multiplicité 2.

De manière plus simple, la formule se réécrit:

Pour tout les facteurs de multiplicité 1:
[TeX]N = 3^k[/TeX]
Pour 1 facteur de multiplicité [latex]p_1[/latex]:
[TeX] N =(3^k-3^{k-1})(1+p_1-1)+ 3^{k-1} = 3^k + (3^k-3^{k-1})(p_1-1)[/TeX]
Pour 2 facteurs de multiplicité [latex]p_1[/latex] et [latex]p_2[/latex]:
[TeX]N =(3^k-3^{k-1})(1+(p_1-1) + (p_2-1) + \dfrac{2}{3}(p_1-1)(p_2-1) ) + 3^{k-1} = 3^k + (3^k-3^{k-1})((p_1-1) + (p_2-1) + \dfrac{2}{3}(p_1-1)(p_2-1) )[/TeX]
Pour 3 facteurs de multiplicité [latex]p_1[/latex], [latex]p_2[/latex] et [latex]p_3[/latex]:
[TeX]N =(3^k-3^{k-1})\left[1+(p_1-1) + (p_2-1) + (p_3-1)+ \dfrac{2}{3}\left[ (p_1-1)(p_2-1) + (p_1-1)(p_3-1) + (p_2-1)(p_3-1) \right] +\dfrac{4}{9} (p_1-1)(p_2-1)(p_3-1)\right] + 3^{k-1} = 3^k + (3^k-3^{k-1})\left[(p_1-1) + (p_2-1) + (p_3-1)+ \dfrac{2}{3}\left[ (p_1-1)(p_2-1) + (p_1-1)(p_3-1) + (p_2-1)(p_3-1) \right] +\dfrac{4}{9} (p_1-1)(p_2-1)(p_3-1)\right][/TeX]
Exemple:
Pour 60 = 2^2*3*5
Il y a 3 facteurs premiers distincts
2 est de multiplicité 2. en application de la formule pour un facteur de multiplicité supérieure à 1:
N = 3^3 + (3^3-3^2)(2-1) = 27 + 18 = 45
(N-1)/2 = 22 OK

Pour 1663200 = 2^5*3^3*5^2*7*11
5 facteurs distincts
N = 3^5 + (3^5-3^4)(4 + 2 + 1 + 2*(8 + 4 + 2)/3 + 4*8/9) = 3465
(N-1)/2 = 1732

résultat qui est confirmé par le code suivant:

def egypt(n):
    c=0
    for i in range(1,n):
        if n*i%(n-i)==0:
            c+=1
    print(c)

>> egypt(1663200)
>> 1732

@ Ebichu: c'est une bonne réponse, bravo !
Pourras tu fournir la formule qui compte les différences ?

Effectivement, je suis allé sur le sujet de la somme de fraction, et c'est un peu plus simple