Bien Looping.
Sinon, j'ai la réponse pour le "beaucoup".

Euh..pourquoi beaucoup de zéros, Gwen ?

C'est quoi beaucoup ?
Une infinité ?
Un nombre N fixé d'avance ?
Dans le second cas il suffit de prendre A = N! pour que les N premiers nombres (au moins) soient entiers.

Plus sérieusement, j'ai l'impression validée par ma calculatrice,  que quelque soit A entier, tous les u(n) sont entiers. En prenant A=1,
u2=3, u3=10, u4=35, u5=126, u6=462 etc.
Et ça croit vite u12 >1000000

u(n)=C(2n-1,n)*A

Et ça se démontre par récurrence

Oui Esereth, mais j'ai posé A rationnel.

M'en fous !

Tout entier est rationnel.
Et tu ne m'empêches pas de choisir un entier.

Esereth, si je choisis un rationnel non entier ? C'est là l'intérêt du problème...
Tilapiot: c'est vrai parfois ça fait beaucoup d'entiers. Et si A=1/97 par exemple ?

Cette suite peut se réécrire
un=A*C(2n-1,n-1). ça se démontre facilement en faisant le rapport u(n+1)/un.
De par ce fait, Si A entier, un ne contient que des entiers.
Mais si A possède un dénominateur différent de 1 ?
Si le dénominateur de A est une puissance de 2:
Rappelons la suite telle qu'elle est présentée dans l'énoncé: A*(4-2/n)
ou A*(2*(2n-1)/n)
Chaque terme nouveau se déduit du précédent en le multipliant par 2 et l'impair suivant et en le divisant par l'entier suivant.
Ecrivons les puissances successives de 2 au numérateur et au dénominateur
N:0 1 1 1 1 1 1 1 ....
D:0 1 0 2 0 1 0 3....
Le numérateur a un avantage sur le dénominateur jusqu'à ce qu'au dénominateur on tombe sur une puissance de 2 inédite.
Preuve:
Comptons les puissances de 2 au dénominateur quand n=2^k:
Il suffit pour cela de diviser 2^k par 2 pour trouver les multiples de 2, de diviser ce reste par 2 pour trouver les multiples de 4, etc...au final, on va sommer:
2^(k-1)+2^(k-2)+...1 qui vaut exactement: (2^k-1) puissances de 2.
Or au numérateur on a exactement le même cardinal.
Donc quand n=2^k  alors "un" n'est plus divisible par 2.
Mais qaund n=2^k-1, alors "un" est divisible par 2^(k-1).
La suite est donc divisible par n'importe quelle puissance de 2, mais jamais de manière ininterrompue.

Si A est un nombre premier autre que 2:
Examinons à titre d'exemple les puissances de 3 dans la suite "un" comme pour les puissances de 2:
D:001001002.001001002.001001003... On remarque que les 2 premières séquences sont identiques.
Au numérateur, on prend un nb sur 2 de cette série, car rappelons qu'au numérateur, on a la suite des impairs.
N:01002.0010 comme les 2 premiéres séquences de D sont identiques, on a pour N les 5 valeurs impaires de la 1ère séquence et pour les 4 valeurs suivantes de N les 4 valeurs paires de cette même séquence. Donc au final on a une égalité dans la sommation des puissances.
Bien entendu, cette démo est valable pour n'importe quelle séquence: on retombe à un bilan nul à chaque n=2*3^k.

La même démo peut être faite pour n'importe quel autre nombre premier, car les séquences ont toutes un cardinal impair, et à chaque groupement de 2 séquences successives identiques, on retrouvera un bilan N/D nul.

Donc pour les nb premiers, on a le même scénario que pour le 2.

On peut chosir dans la suite C(2n-1;n-1) des termes qui sont facteurs de n'importe quelle puissance de n'importe quel nombre premier, ou bien d'autres termes premiers avec n'importe quel nombre premier.

Pour les produits de nb premiers: c'est la même chose, car on sait que n peut valoir ce produit de nombres premiers, c'est à partir de la longueur de cette séquence qu'on va trouver les entiers.


Quelle que soit la valeur du dénominateur choisi, on trouvera tjs une infinité d'entiers, mais jamais de façon ininterrompue. De plus, comme les puissances des nombres premiers augmentent dans la suite, la proportion de nombre d'entiers aura une tendance croissante d'une séquence à l'autre.

J'avance que cette proportion tend vers 1, mais ça reste à démontrer.

Comme l'a bien remarqué Esereth, les nombres entiers n'apparaissent pas de manière régulière. Je donne ici à titre indicatif les valeurs successives des puissances de 3 de cette suite:
0102120103231213230102120104342324341213231214342324340102120103231213230102120105453435452324342325453435451213231214342324341213231215453435452324342325453435450....