Enigme Fractions @ Prise2Tete

bilbo123 · #1

Dans l'équation suivante x, y, et n sont les nombres entiers positifs:
1/x+1/y=1/n
Pour n = 4, il y a 3 solutions distinctes :
1/5+1/20=1/4
1/6+1/12=1/4
1/8+1/8=1/4
Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle le nombre de solutions distinctes est supérieur ou égal à 2016?

gwen27 · #2

Bonjour, ....

Tous tes problèmes ressemblent à des DM.
Si c'est une énigme, tu devrais pouvoir mettre une case réponse.

bilbo123 · #3

Bonjour,
C'est une énigme dont je n'ai pas la solution exacte, je ne peux donc pas mettre une case de validation de la réponse.

nodgim · #4

C'est une jolie petite énigme !

D'abord, si 1/n = 1/a + 1/b, et si 1/a > 1/b, alors 1/(2n) <= 1/a < 1/n.

On peut alors écrire 1/a = 1/(n+d)

Si d est diviseur de n, ça marche car 1/n - 1/(n+d) = d/(n(n+d)) simplifiable en 1/(n/d)(n+d)

Si d n'est pas diviseur de n, ça ne marche pas, car un diviseur de d est premier avec n et avec n+d.

Pour avoir 2016 façons de sommer 1/n en 2 fractions égyptiennes, il faut donc chercher un nombre avec au moins 2016 diviseurs.

On sait que le nb de diviseurs d'un entier écrit sous la forme p^n * q^m * r^s... vaut (n+1)(m+1)(s+1)....

2016= 2^5 * 3² * 7.
Le plus petit nombre correspondant est
2^6 * 3² * 5² * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 = 4 655 851 200

Mais il faut aussi vérifier qu'il n'existe pas un nombre plus grand que 2016 dont la décomposition en facteurs premiers petits permettrait de trouver un nombre correspondant plus petit. Or en tentant 2025 (45²) 2048 (2^11) voire 3^7, on ne parvient pas à obtenir un nombre plus petit. On peut bien sûr faire une recherche systématique à partir de 2016, mais il y a peu de chances de trouver une solution plus petite.

Le plus petit nombre trouvé est 4 655 851 200.

Sydre · #5

Salut,

A première vue c'est directement lié au nombre de facteurs dans la décomposition première de [latex]n[/latex].

Je n'ai pas de réponse pour l'instant je repasserai

dhrm77 · #6

La solution est ici et ici.

1: 1
2: 2
4: 3
6: 5
12: 8
24: 11
30: 14
60: 23
120: 32
180: 38
210: 41
360: 53
420: 68
840: 95
1260: 113
1680: 122
2520: 158
4620: 203
7560: 221
9240: 284
13860: 338
18480: 365
27720: 473
55440: 608
83160: 662
110880: 743
120120: 851
180180: 1013
240240: 1094
360360: 1418
720720: 1823
1081080: 1985
1441440: 2228 <<<< pour 2016
1801800: 2363
2042040: 2552
2882880: 2633
3063060: 3038
4084080: 3281
5405400: 3308
6126120: 4253
12252240: 5468
18378360: 5954
24504480: 6683
30630600: 7088
36756720: 7655
49008960: 7898
61261200: 9113
73513440: 9356

ash00 · #7

Cette énigme, comme les autres proposées par ce joueur, provient du site Défi Turing de Monsieur Didier Müller, bien connu par certains de nos membres, car étant le créateur de apprendre en ligne.

Monsieur Müller a été contacté.
Il ne souhaite pas donner suite à cette tricherie.

Par contre, ici, sur P2T, on n'aime pas que les joueurs s'approprient les énigmes des autres.
J'ai donc ouvert le topic à tous pour que chacun puisse consulter les réponses données... et aller s'amuser sur le site Défi Turing.

Maintenant, bilbo123, nous ne voulons plus que vous postiez des énigmes n'étant pas les vôtres. Et nous aimerions que vous nous donniez quelques explications sur votre façon d'agir.
Cela peut se faire en MP évidemment.

En tout cas, ce message fait office de 1er avertissement !

ash00, pour la modération

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#1 - 28-11-2016 18:11:59

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