Enigme Nombre réfractaire (2) @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour @ tous.

On dit qu'un nombre " n " est réfractaire à un nombre premier " p " si la division de " n " par " p " n'est pas juste et si en plus, en changeant 1 seul chiffre de " n " , on n'arrive pas davantage à obtenir une division juste (reste non nul).

Saurez vous construire un nombre réfractaire à p > 11 d'au moins p² chiffres ?

Bonne recherche.

Ebichu · #2

9.010.779.220.779.220...779.220 est un nombre réfractaire à 13 arbitrairement grand. Ça doit pouvoir se généraliser, mais j'ai peur que ce soit un peu compliqué à écrire...

nodgim · #3

Peut être Ebichu, je ne sais pas.

Ce qui m'intéresse, c'est de savoir comment tu le construis, en vue d'une généralisation.

Ebichu · #4

La périodicité d'ordre 6 de mon nombre est liée au fait que 1.000.000 = 1 mod 13.

J'ai choisi de fabriquer un nombre réfractaire congru à 1 mod 13, mais j'aurais sans doute pu le faire congru à autre chose.

En changeant le chiffre des unités de mon nombre, il ne faut pas que l'on rajoute -1 mod 13 à sa valeur. Donc il ne faut pas qu'on enlève 1 au chiffre des unités, cela exclut tous les chiffres des unités sauf 0.

En changeant le chiffre des dizaines de mon nombre, il ne faut pas que l'on rajoute -1 mod 13 à sa valeur. Donc il ne faut pas qu'on fasse +9 ou -4 au chiffre des dizaines, cela exclut tous les chiffres des dizaines sauf 1, 2, 3.

Je fais le même raisonnement pour tous les rangs des chiffres. Au bout de 6 rangs, cela boucle, car 1.000.000 = 1 mod 13. Résumons ce que l'on obtient dans un tableau:

Rang du ch. (mod 6) ===> ch. possibles ===> contribution du ch. à mon nb mod 13
1 (chiffres des unités ou des millions...) ===> 0 ===> 0
2 (chiffres des dizaines ou des dizaines de millions...) ===> 1,2,3 ===> 10,7,4
3 ===> 0,1,2 ===> 0,9,5
4 ===> 9 ===> 4
5 ===> 6,7,8 ===> 5,8,11
6 ===> 7,8,9 ===> 2,6,10

J'ai donc d'abord cherché un choix de 6 chiffres dont la contribution à mon nombre fasse 0 mod 13, j'ai trouvé 779.220 (contribution 2+8+4+5+7+0=26=0 mod 13).

Puis j'ai cherché un choix de quelques chiffres pour la partie à gauche de mon nombre, dont la contribution fasse 1 mod 13. J'ai trouvé 9.010 (contribution 4+0+10+0=14=1 mod 13).

nodgim · #5

C'est Ok, Ebichu.

Il y a une petite nuance avec ce que j'ai fait moi même, décrit ci-après.

Le choix de 1 ( ou -1 ) est judicieux et le plus facile, parce qu'on sait que ça marche toujours, pour tous les nombres premiers.

Lemme

Pour tout nombre premier p > 20, 10 et 20 sont 2 valeurs modulo p. Les 7 autres multiples de 10 ( de 30 à 90) ne peuvent pas prendre toutes les valeurs comprises entre 10 et 20. Dans ce rang des dizaines, il existe donc au moins 2 nombres a [p] et b [p] tel que a+1 [p] et b+1 [p] n'existent pas parmi les 9 multiples de 10 [p]. On vérifie rapidement qu'il en est de même pour les nombres 13, 17 et 19. On note que a-b différent de 0 [p] puisque, par définition, a [p] et b [p] < p.

Par ailleurs, pour chacun des rangs de chiffres autres que les dizaines, il existe forcément au moins un a [ p] tel que a+1[p] n'existe pas dans les 9 multiples correspondants puisque p > 11.

Construction du nombre :

On construit un nombre de p-1 chiffres en prenant pour chaque rang le chiffre qui correspond au nombre a [p] du lemme. On calcule la somme S[p] de ces nombres. Si elle est nulle, on choisit le nombre b du lemme de sorte que S[p] n'est plus nulle. Comme 10 ^ ( p-1 ) = 1 [p], le chiffre de rang p -1 est le dernier chiffre d'une période de longueur p-1. Comme S[p] < p et p premier, il existe K tel que K * S[p] = - 1 [p]. Ce nombre est la concaténation de K fois le nombre de p-1 chiffres et il est réfractaire puisqu'il n'existe aucun chiffre, par construction, de valeur a [p] tel que a+1 [p] existe. Pour que ce nombre ait au moins p² chiffres, il suffit de le concaténer (p+1)² fois.

nodgim · #6

A contrario, un joli nombre très perméable à 13 : 904.521.114
car
004.521.114
914.521.114
901.521.114
904.121.114
904.511.114
904.524.114
904.521.514
904.521.124
904.521.111

sont divisibles par 13.

La séquence 4.521.114 pouvant être ajoutée autant de fois que l'on veut au nombre initial.

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

#1 - 14-01-2018 07:43:45

nimbre réfractaire (2)

#0 Pub

#2 - 20-01-2018 11:26:52

Nombre réfrractaire (2)

#3 - 20-01-2018 12:02:44

Nombre réfractarie (2)

#4 - 20-01-2018 13:05:50

Nombre réfractaaire (2)

#5 - 20-01-2018 14:48:23

Nombr réfractaire (2)

#6 - 21-01-2018 10:15:51

nolbre réfractaire (2)

Réponse rapide

Sujets similaires

Pied de page des forums