Si n est divisible par 2, 2n-n marche.
Si n n'est ni divisible par 3, ni par 2 ou si n est divisible par 3 et par 2, 3n-2n marche.

Si n est divisible par 3 et pas par 2, n = 3m, soit p le plus petit nombre premier ne divisant pas n (autre que 2), pm - (p-3)m marche.

@ Caduk : c'est bon, c'est à peu près ce que j'ai fait aussi. 

@ Milou : pourquoi pas ? Mais il faut être plus précis. Tu n'as pas choisi le chemin le plus facile.....

Pour la deuxième question, c'est encore plus court :
pn-(p-1)n avec p le plus petit nombre premier ne divisant pas n.

On note [latex]\omega[/latex] la fonction qui à un entier associe le nombre de ses facteurs premiers distincts.

Soit un entier naturel [latex]n[/latex]

1) Tout entier naturel peut s'écrire comme différence entre 2 nombres de même famille ?

Si [latex]n[/latex] est pair :

On a [latex]n=2n-n[/latex]

Comme [latex]n[/latex] est pair [latex]\omega(2n)=\omega(n)[/latex] et la proposition est vraie.

Si [latex]n[/latex] est impair :

On a [latex]n=2^kn-(2^k-1)n[/latex]

Comme [latex]n[/latex] est impair [latex]\omega(2^kn)=\omega(n)+1[/latex]

Si on admet que la conjecture LPW est vraie alors il existe une infinité de nombres de Mersenne premiers. (Ok, je triche un peu )

On peut donc toujours choisir [latex]k[/latex] de façon à ce que [latex]2^k-1[/latex] soit premier et ne soit pas facteur de [latex]n[/latex] auquel cas [latex]\omega((2^k-1)n)=\omega(n)+1[/latex] et la proposition est vraie.

Conclusion

La proposition est vraie pour tout entier naturel.

2) Tout entier naturel  peut s'écrire comme différence entre 2 nombres de familles différentes ?

On a [latex]n=(n+1)n-n^2[/latex]

Comme [latex]n[/latex] et [latex]n+1[/latex] sont premiers entre eux [latex]\omega((n+1)n)=\omega(n+1)+\omega(n)>\omega(n^2)=\omega(n)[/latex] et la proposition est vraie pour tout entier naturel.

@ Sydre : trop aléatoire, le 1) impair. OK pour le 2).

@ Gwen : Combien y a t'il d'actifs ici qui le soient aussi là bas ? A mon avis, ça ne doit pas beaucoup gêner....