Enigme Les deux échelles . @ Prise2Tete

unecoudée · #1

Bonjour ;

Je présente un classique arrangé à ma façon ; les solutions vont donc pleuvoir .

Dans une ruelle parfaitement plane et horizontale bordée par deux hauts murs d'aplomb , on a dressé deux échelles dont la différence de longueurs mesure 0.75 m
La plus courte est en appui sur le mur droit, les deux pieds callés par le bas du mur gauche .
L'autre échelle est dressée dans le sens inverse . ( en appui sur le mur gauche avec les pieds collés au mur droit )
Elles se croisent en O et avec un peu de recul , on s'aperçoit que C : le haut de la petite échelle est surélevé d' 1 m par rapport à O .
Quant au point D : haut de la grande échelle , ce dernier est surélevé d' 1.25 m par rapport à C .

Déterminer la longueur des échelles .

n.b. concours "PIZZA" Lycées France 2021 .

Amusez-vous bien .

Vasimolo · #2

Bonjour unecoudée

On a deux triangles dans le rapport 1,5 et avec un coup de Pythagore L=1675/3 et l=1450/3 ( en cm ) .

Il aurait été sympa d'avoir des valeurs entières

Vasimolo

Bastidol · #3

Bonjour,

Peux tu faire un schéma.

@+

Franky1103 · #4

Soient:
- A le pied de la grande échelle (à la verticale de C)
- B le pied de la petite échelle (à la verticale de D)
- L la longueur de la petite échelle (la grande fait alors L+0,75)
- H le hauteur du point O
Dans les triangles semblables OAC et OBD, on a:
OA/OC = OD/OB, d’où: OA/OD = OC/OB
Par ailleurs: OC/1 = OB/H et OA/H = OD/2,25
ce qui donne: H = OB/OC = 2,25.OA/OD = 2,25.OC/OB
Donc: H = OB/OC = V2,25 = 1,5
Dans les triangles rectangles ABD et BAC, on écrit:
AB² = (L+0,75²) - 3,75² = L² - 2,5²
D’où finalement:
L = 29/6 = env. 4,833 m et L+0,75 = 67/12 = env. 5,583 m
Merci pour ce divertissement, qui permet également de tenir le site P2T en vie.

Edit: correction orthographique.

unecoudée · #5

bonsoir ;

@Bastidol : voici un dessin qui n'est pas forcément à l'échelle .

@Franky1103 : Bravo pour ta démonstration .

@vasimolo : que vous donniez des réponses sans les démontrer ; passe .
Mais ajouter : "il aurait été sympa d'avoir des valeurs entières"
Alors : Pardonnez moi grand maitre ; je ne recommencerai plus !
Pour faire plus court : un peu plus d'argumentation dans vos réponses ; un peu moins de mépris !

Fabriquer des énigmes est souvent aussi difficile que de les résoudre .
Alors un petit peu de respect , monsieur ! ; merci .

Vasimolo · #6

Tu t'agaces tout seul , j'ai donné l'idée pour les calculs , le reste ...

Je ne donne de leçons à personne , j'aurais simplement trouvé les résultats plus agréables en multipliant les longueurs par 1,2 , après tu en fait ce que tu veux

Rassures-toi , je ne t'importunerai plus pour tes prochaines énigmes .

Vasimolo

TOUFAU · #7

Hello UneCoudée

Je trouve 29/6 m pour la petite échelle (et donc 67/12 m pour la grande)

J’appelle d la longueur de la petite échelle, h l’altitude de O, a la largeur entre les murs (AB sur ton schéma), b la distance entre A et la projection de O au sol.

Un peu de Thalès…
h/b=1/(a-b) et h/(a-b)=9/4b. On en déduit sans trop s’user que a/b=h/(1+h)=9/(4h+9). Et donc h=3/2.

Un peu de Pythagore
d²=a²+(h+1)² et (d+3/4)²=a²+(h+9/4)². On en déduit sans trop se casser que d=(5h+7)/3. Et donc d=29/6.

Fait un peu en live…je me demande si je n’ai pas fait d’erreur de calcul (sans trop faire gaffe 😊)

Merci UneCoudée

unecoudée · #8

bonjour ;

@TOUFAU : non , tu ne t'es pas trompé , bravo !

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#1 - 19-03-2021 17:01:27

Les deux échhelles .

#0 Pub

#2 - 19-03-2021 18:41:01

lrs deux échelles .

#3 - 20-03-2021 14:37:54

les deux échelkes .

#4 - 20-03-2021 17:17:57

les deux échrlles .

#5 - 20-03-2021 20:39:32

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#6 - 21-03-2021 10:40:05

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#7 - 21-03-2021 20:27:40

Les dexu échelles .

#8 - 22-03-2021 09:15:54

Les deux échelles

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