Merci Migou de m'aider à préciser

Il s'agit des conditions minimales sur les vitesses des points An
pour obtenir, à un instant donné de la rotation de ces points
un carré parfait.

De même qu'ici avec les vitesses données
on obtient par deux fois
un triangle isocèle rectangle
(mais jamais de carré)

soient (θ1,θ2,θ3,θ4) les coordonnées angulaires initales (en quart de tour pour simplifier les calculs) de A1, A2, A3 et A4 = (0, 2, 1, 3). et v1,v2,v3,v4 les vitesses angulaires (en quart de tour/s)

Pour faciliter les calculs, on fixe A1 au point de coordonnées (1,0) et on note v'2,v'3,v'4 les vitesses angulaires relatives de A2..A4 par rapport à A1, c'est à dire [latex]v'_i = v_i - v_1[/latex]

Il y a deux façons de former un carré : soit le carré se forme avec A1 A2 A3 A4 dans le sens horaire, soit dans le sens horaire, soit dans le sens anti-horaire, dit aussi sens direct ou trigonométrique.

Petit dessin de la position de départ :

        A3
         |
A2  --+-- A1
         |
        A4

Prenons par exemple le cas du sens trigonométrique.

A2 se trouvera à sa place à chaque temps [latex]c_i = \frac{3+4i}{v'_2}[/latex] et ce quelle que soit la valeur de [latex]v'_2[/latex]

Reste à choisir les vitesses angulaires [latex]v'_3[/latex] et [latex]v'_4[/latex] pour cela, on peut fixer la valeur de i à sa convenance. Et on aura un carré ssi
[TeX]v'_3.c_i = \frac{v'_3.(3+4i)}{v'_2} \equiv 1 \pmod 4[/TeX]
et
[TeX]v'_4.c_i = \frac{v'_4.(3+4i)}{v'_2} \equiv 0 \pmod 4[/TeX]
Que peut-on en conclure ? Je ne vois pas trop.

D'abord, qu'il y a tout un tas de solutions.

Je peux dire qu'une condition nécessaire à la formation du carré est que le rapport entre deux vitesses angulaires relatives soient rationnelles.

A3
         |
A2  --+-- A1
         |
        A4

une solution évidente pour les vitesses angulaires (toujours en quart de tour par s est (v1..v4) = (-1, 0, 0, +1), ce qui aura pour effet de permuter A1 et A4.

        A3
         |
A2  --+-- A4
         |
        A1

Pour donner des vitesses positives, on peut ajouter une vitesse de rotation arbitraire de +1, identique à tous les points.

(v1..v4) = (0, 1, 1, 2)

Le lien va bien sur GeoGebra, mais la mention "non autorisé" apparait et l'animation ne se lance pas.

Salut,

Sans pénaliser la généralité de l’énigme, je peux considérer que le point A4 est immobile (ou, si on préfère, que le référentiel tourne à la vitesse opposée à celle de A4).
Les points A1, A2 et A3 sont initialement situés par rapport à A4 à respectivement ¼, ½ et ¾ de tour et ils ont respectivement une vitesse (en tours par unité de temps) de V1, V2 et V3.
Pour les positions finales (au temps T) de ces points, on aura alors six cas à étudier (k1; k2 et k3 sont des nombres entiers):

1°) A1, A2 et A3 reviennent à leurs positions initiales
V1.T = k1; V2.T = k2; V3.T = k3
=> V2 = V1.k2/k1 et V3 = V1.k3/k1

2°) A1 revient à sa position initiale et A2 / A3 intervertissent leurs positions
V1.T = k1; V2.T = k2+¼; V3.T = k3-¼
=> V2 = V1.(k2+¼)/k1 et V3 = V1.(k3-¼)/k1

3°) A2 revient à sa position initiale et A1 / A3 intervertissent leurs positions
V1.T = k1+ ½; V2.T = k2; V3.T = k3-½
=> V2 = V1.k2/(k1+½) et V3 = V1.(k3+½)/(k1+½)

4°) A3 revient à sa position initiale et A1 / A2 intervertissent leurs positions
V1.T = k1+¼; V2.T = k2-¼; V3.T = k3
=> V2 = V1.(k2-¼)/(k1+¼) et V3 = V1.k3/(k1+¼)

5°) A1 vient en A2, A2 vient en A3 et A3 vient en A1
V1.T = k1+¼; V2.T = k2+¼; V3.T = k3-½
=> V2 = V1.(k2+¼)/(k1+¼) et V3 = V1.(k3-½)/(k1+¼)

6°) A1 vient en A3, A2 vient en A1 et A3 vient en A2
V1.T = k1+½; V2.T = k2-¼; V3.T = k3-¼
=> V2 = V1. (k2-¼)/(k1+ ½) et V3 = V1. (k3-¼)/(k1+ ½)

Mais le manque de ’’formule plus générale’’ me gêne dans mon développement.