Bonne réponse de Nicouj. Bravo.

Si les cardinaux sont en nombre impair, ils postulent tous. Le plus rapide devient le prétendant et il est élu car personne ne vote contre lui.

Si les cardinaux sont en nombre pair, personne ne postule. Dès que le plus faible s'endort (ou qu'un nombre impair d'entre eux s'endorment), on se retrouve dans la configuration précédente.

(L'histoire ne dit pas ce qui se passe s'ils s'endorment tous !)

On voit qu'en toute logique, jamais un Cardinal ne votera contre un autre.

Je tente un démonstration plus ou moins mathématique. Les deux lemmes suivants découlent de l'énoncé.

Lemme1:
Si un cardinal a le choix entre devenir Pape ou rester Cardinal (sans autre choix), il choisit de devenir Pape.

Lemme2:
Si un cardinal a le choix entre rester Cardinal ou redevenir simple Curé (sans autre choix), il choisit de rester Cardinal.

A partir de ces deux lemmes, on raisonne par réccurence sur le nombre de cardinaux.

Cas 1 :
S'il n'y a qu'un seul cardinal, il postule et personne ne vote contre lui.

Cas 2:
S'il y a deux cardinaux, chacun a deux possiblités : postuler ou ne pas postuler.
Si au moins un cardinal postule, il y aura un prétendant désigné. L'autre est alors certain de devenir Pape en votant contre lui. Le prétendant, est donc certain d'être déchu. Etre le prétendant étant perdant à coup sûr, aucun Cardinal ne va postuler. Le seul moyen de devenir Pape est donc d'attendre en espérant être plus résistant que l'adversaire.

Supposons que, pour un nombre de cardinaux N, la proposition suivante soit vraie : "Si N est impair, le prétendant sera élu pape à coup sûr (personne ne votera contre lui). Sinon (N pair), le prétendant est certain être déchu."

Montrons qu'alors, pour N'=N+1, cette hypothèse reste vraie.

Si N' est impair, tout Cardinal qui doit voter pour ou contre le prétendant fait le raisonnement suivant :
"Si je vote contre le prétendant, le nombre de cardinaux devient pair et je deviens le prétendant. D'après l'hypothèse, je suis certain d'être déchu."
Donc, il ne vote pas contre ... et le prétendant est élu.

Si N' est pair, tout Cardinal qui doit voter pour ou contre le prétendant fait le raisonnement suivant :
"Si je vote contre le prétendant, le nombre de cardinaux devient impair. D'après l'hypothèse, je suis certain d'être élu. Donc, je vote contre le prétendant."
Le prétendant est donc certain d'être déchu.

Donc si l'hypothèse est vraie au rang N, elle l'est aussi au rang N'=N+1. Or, elle est vraie au rangs 1 et 2. Donc, la proposition est toujours vraie et la solution en découle directement.