J'arrive à bricoler des fonctions d'entiers qui respectent une condition similaire, en scindant les entiers en entiers pairs et impairs, et en appliquant des traitements différents aux uns et aux autres.

Je cherche désespérément une scission du même genre sur les réels, mais outre positif/négatif (qui ne me mène pas bien loin), rien pour l'instant.

Peut-être une opération simple et réversible qui change tout rationnel en irrationnel... et vice-versa ?!! Inconnue au bataillon, mon général Et vu les cardinaux des deux ensembles, pas de bijection possible.

72 heures pour méditer là-dessus... Le temps de s'acharner, quoi



J'ai pensé à repartir de l'idée toute bête que j'avais sur les entiers :

f(x) = x + 1 si x pair
         1 - x sinon

Ca marche pour les pairs mais pas pour les impairs, crotte. Comme quoi c'était vraiment une idée bête Bon ben... je m'acharne mais un peu dans le vide. L'idée, c'est de trouver une fonction qui marche sur N, puis de l'étendre en prenant les ensembles de type [2k,2k+1[ et [2k+1,2k+2[ à la place de "pair" et "impair". Je m'acharne encore...

Pour ceux qui sont gênés par le formalisme de l'énigme

On cherche une fonction de l'ensemble des nombres réels dans lui même qui appliquée deux fois à n'importe quel nombre donne son opposé ( pourquoi ai-je l'impression d'être de plus en plus abscons )

Un exemple : la fonction [latex]f(x)=1-x[/latex] .

[latex]f(8)=-7[/latex] et [latex]f(-7)=8[/latex] c'est à dire [latex]f\circ f(8)=8[/latex] .
[latex]f(-4)=5[/latex] et [latex]f(5)=-4[/latex] c'est à dire  [latex]f\circ f(-4)=-4[/latex] .
On obtient des résultats similaires pours tous les réels c'est à dire que [latex]f \circ f (x)= x[/latex] on dit que [latex]f \circ f[/latex] est l'identité sur [latex]\mathbb{R}[/latex] ( [latex]Id_{\mathbb{R}}[/latex] ) . Cet exemple ne répond pas au problème .

Il faudrait trouver une fonction [latex]f[/latex] telle que [latex]f\circ f(x)=-x[/latex] c'est à dire [latex]f \circ f(8)=-8[/latex] , [latex]f \circ f(-4)=4[/latex] , ... 

J'espère que formulée ainsi la question est plus claire

Vasimolo

f(x)=-|x| pour x>0 car f(f(x))=-|-|x||=-|x|
f(x)=|x| pour x<=0

Si f est bijective alors il n'y a pas de solution car en effet,dans ce cas,la réciproque de f est egale a -f et donc la symetrie par rapport à la première bissectrice ammène sur -f.Par suite la symétrie,par rapport à la première bissectrice suivie de la symetrie par rapport à l'axe des abscisses,du graphe est incluse dans le graphe.Ce qui est egal à une rotation d'angle -pi/2.
Par bijectivité sur R le grphe passe par lun point d'ordonnée 0 puis par la rotation précedente par un point d'abscisse 0 puis en appliquant de nouveau la rotation, par le point d'abscisse 0 et d'ordonnée opposée ce qui donne deux images à un même point.

Soit f définie par :
+ f(0) = 0
+ pour lxl € [2^(2p);2^(2p+1)[, f(x) = 2x (p entier relatif)
+ pour lxl € [2^(2p+1);2^(2p+2)[, f(x) = -x/2

Ca doit marcher !

En fait, j'ai cherché à découper R* en deux parties (chacune symétrique, i.e. si y € P1, -y € P1) où l'on peut trouver une fonction impaire (ici g(x)=2x qui fasse passer d'une partie à l'autre). Sur une partie on définie f égale à g, sur l'autre f=-g* (où g* est la fonction réciproque de g).

En voici une autre :
+ f(0) = 0
+ pour lxl € ]2n;2n+1] (n entier naturel), f(x)=x+1 pour x>0 et f(x)=x-1 pour x<0.
+ pour lxl € ]2n+1;2n+2], f(x)= -x+1 pour x>0 et f(x)=-x-1 pour x<0.

ou une autre
+ f(0) = 0
+ pour -1 <= x < 1, f(x) = 1/x
+ pour x < -1 ou x >= 1, f(x) = -1/x

Par contre, je ne pense pas (intuitivement ) qu'une fonction continue puisse posséder cette propriété. Il pourrait être intéressant de le démontrer ou de trouver un exemple démentant mon intuition).

Evidemment que ça plait ce genre de problème !!!!!

Mon raisonnement ne marche pas car la fonction si elle est bijective (ou peut- etre tout le temps?) est impaire donc passe par l'origine est ma rotation n'y fait rien.

Oui , de telles fonctions existent , j'avais pensé à la même que dylasse :



On peut en imaginer une infinité d'autres en considérant une partition de [latex]\mathbb{R}^*_+[/latex] en deux parties [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] de même cardinal et [latex]g[/latex] une bijection de [latex]A[/latex] vers [latex]B[/latex] . Alors on construit [latex]f[/latex] en complétant par symétrie autour de l'origine : [latex]f(0)=0[/latex] , [latex]f(x)=g(x)[/latex] si [latex]x \in A[/latex] et [latex]f(x)=-g^{-1}(x)[/latex] si [latex]x\in B[/latex] .

On a noté que [latex]f[/latex] est impaire , c'est aussi une bijection car [latex]- Id[/latex] en est une . D'autre part [latex]f[/latex] ne peut pas être continue , en effet [latex]f(1)=a[/latex] , [latex]f(a)=-1[/latex] , [latex]f(-1)=-a[/latex] et [latex]f(-a)=1[/latex] . Si [latex]a[/latex] est positif ( resp négatif ) [latex]f[/latex] prend des valeurs positives et négatives sur l'intervalle d'extrémités 1 et [latex]a[/latex] ( resp 1 et [latex]-a[/latex] ) si elle est continue elle s'annule sur cet intervalle et comme [latex]f(0)=0[/latex]  , on contredit le fait que [latex]f[/latex] est bijective .

Merci pour l'intérêt porté à l'énigme

Vasimolo

Je n'ai rien compris mais le graphique est très beau... lol

En fait , je suis dessinateur sur ordinateur ( raté ) et avec quelques complices je liquide mes dessins sous couvert d'énigmes pour le moins douteuses

Qui m'a trahi

Vasimolo

PS : j'ai d'autres dessins mais on ne peut pas les voir sans un tube de ma composition , les amateurs peuvent me contacter , je leur dirais où envoyer le chèque

La réponse de MthS-MlndN m'impressionne car elle couvre manifestement tous les cas possibles .  Toutefois, elle me met aussi un rien mal à l'aise car elle distingue quatre cas et, d'un cas à l'autre, le signe d'un des membres de la fonction change .
Pour ma part, en lisant l'énoncé:
"Existe-t-il une fonction... "
j'espérais trouver une fonction (miracle) et unique, couvrant tous les cas, et je crois bien que je ne suis pas le seul à avoir eu cette lecture/interprétation.
Autrement-dit: est-il courant de considérer comme fonction unique un protocole qui distingue quatre cas ?
Comme à l'époque de mes études on parlait très peu d'ensembles, de groupes, d'anneaux  etc  il est possible (si pas probable) que je sois tout à fait à côté de la question... Quelqu'un pourrait-il m'éclairer de manière simple à ce sujet ?
.
Enfin, il est aussi possible que la solution donnée par MthS-MlndN soit la preuve que la fonction miracle recherchée n'existe pas puisqu'il faut quatre fonctions distinctes pour couvrir tous les réels.
.

Tiens , on a vu les mêmes pubs sur la même chaîne

Un grand merci au passage à Mathias pour son bel effort pédagogique . Personnelement je ne force pas trop sur les explications pour ne pas harceller ceux qui suivent le fil d'un oeil distrait et je préfère joindre un petit dessin . Ceux que le problème titille vraiment demanderont au besoin des éclaississements sur le forum ou par MP .

Mais bon , chacun a sa vision du forum et c'est tant mieux

Vasimolo

j'espérais trouver une fonction (miracle) et unique, couvrant tous les cas, et je crois bien que je ne suis pas le seul à avoir eu cette lecture/interprétation.
Autrement-dit: est-il courant de considérer comme fonction unique un protocole qui distingue quatre cas ?

Bien que nous soyons habitués à manipuler des fonctions "simples et efficaces", continues, etc., n'importe quel objet mathématique qui associe à des valeurs d'un ensemble de départ I des valeurs d'un ensemble d'arrivée J est une fonction.

Si je dis "f(2)=1, f(-1)=4, picétou", je définis pleinement une fonction de l'ensemble {-1;2} vers l'ensemble {1;4}, c'est même une fonction bijective (un élément de départ a une et une seule image, et vice-versa). En pratique, je viens d'inventer la fonction la moins utile du monde, mais tant pis

La définition de fonctions "par morceaux" (comme celle de cette énigme) est plus courante dans l'interpolation, dont le principe de base est : je dispose de points de mesure, comment les recoller "au mieux" pour avoir une idée de ce qui se passe entre les mesures ? On fait ça pour énormément de choses, je prends des exemples au pif :
- pour établir empiriquement une loi physique, on mesure la température de fusion de je-ne-sais-quel-corps pour des pressions différentes ; mon nombre de mesures étant limité, j'obtiens sur un graphique un nuage de points de la forme (P,T) : en abscisse, la pression, et en ordonnée la température d'ébullition associée. Si je trouve une fonction "qui colle bien aux données", je peux obtenir T en fonction de P pour n'importe quelle valeur, alors que je n'ai fait que quelques mesures.
- ce cas était simple (en l'occurrence, on pourra trouver une fonction simple à exprimer qui correspondra exactement), mais dans des cas plus complexes... allons-y : je calcule la pression dans une enceinte quelconque, mais la limitation en moyens de calcul fait que je calcule les pressions sur des points séparés dans l'espace, et je ne trouverai probablement aucune fonction "simple" pour recoller à mes points, alors je ruse : je définis ma pression en fonction de la position par morceaux. Admettons que mes points fassent une belle grille régulière dans toutes les dimensions (si je relie les points dans chaque direction, j'obtiens plein de cubes de taille identique, genre Rubik's Cube 1000x1000x1000 ). Je cherche alors, dans chaque cube, une fonction qui recolle mes points. Je peux imposer des conditions en plus lors de mon calcul des morceaux de fonction dans chaque cube, de façon à ce qu'il n'y ait pas de "cassures" trop brutales entre plusieurs morceaux.

Tu peux te l'imaginer en une seule dimension (je récupère ma pression seulement sur une ligne de points alignés et je recolle ce que j'obtiens). Fais l'expérience : trace un graphique, place dix points également répartis en abscisse (x=1, x=2, x=3...) mais avec des ordonnées "pifométriques" (il ne faut pas que ça ressemble à une petite fonction simple, comme dans la Nature, qui a une fâcheuse tendance à nous compliqur la tâche ). Relie-les : instinctivement, tu feras une jolie courbe continue en t'imaginant que "ça doit vraiment ressembler à ça", alors que, si la seule condition à remplir était "il faut que ça passe par tous les points", les relier par des segments de droite était largement suffisant... Dans les deux cas, tu crées une fonction définie par morceaux, sauf que dans un des deux cas, ça paraît bien plus naturel (car "lisse"), alors que dans l'autre, on trouve ça "bizarre".

En l'occurrence, la fonction de cette énigme était encore plus "bizarre" car même pas continue, et pourtant, dès que tu relies des points sur un graphique, ta main crée une fonction par morceaux. En interpolation, on fait la même chose, mais avec des maths (l'ordi le fait à notre place, il est plus précis, et ses graphs sont plus jolis que les notres )

Je précise que l'interpolation n'est qu'un exemple, mais encore une fois, n'importe quel "truc" qui associe à des valeurs de départ des valeurs d'arrivée est une fonction. Les fonctions les plus "usuelles" sont de classe [latex]C^{\infty}[/latex], c'est-à-dire qu'elles sont continues, que leur dérivée est continue, que la dérivée de cette dérivée est continue, etc. (tous les polynômes, toutes les fractions rationnelles, l'exponentielle, le logarithme, et j'en oublie énormément, sont [latex]C^{\infty}[/latex] à l'intérieur de leur ensemble de définition.) Mais on en vient vite à considérer des fonctions qui ne seront "que" [latex]C^1[/latex] (continue et de dérivée continue, mais la dérivée seconde ne l'est pas -- ce qui ne se voit pas facilement sur une courbe), voire [latex]C^0[/latex] (continue mais de dérivée non continue, donc avec des "cassures", par exemple la fonction "valeur absolue" qui, d'ailleurs, est une fonction définie par morceaux : |x| = x si x positif, -x si x négatif ), voire même des fonctions pas continues du tout... celle de cette énigme entre beaucouo d'autres, puisqu'en toute logique il n'y a rien de plus simple que de créer une fonction qui n'est pas continue. Il suffit même de prendre une fonction continue et de déplacer UN point pour que la fonction ne soit pas continue :

f(x) = 2x+3 si x différent de 0 et f(0) = 981,3

Encore une fois, mon explication est très longue (c'est tout moi, ça), j'espère qu'elle aura au moins diverti/enseigné/pas trop ennuyé (biffer les mentions inutiles) les lecteurs courageux