On va d'abord montrer que pour 2 cercles [latex]C_a[/latex] et [latex]C_b[/latex] de même rayon R, de centres [latex]O_a[/latex] et [latex]O_b[/latex], et sécants en 2 points [latex]M_1[/latex] et [latex]M_2[/latex], on a [latex]\vec{O_aM_1}[/latex] = [latex]\vec{M_2O_B}[/latex]
Tout d'abord, [latex]O_a[/latex] (tout comme [latex]O_b[/latex]) est sur la médiatrice de [[latex]M_1[/latex][latex]M_2[/latex]], puisque [latex]O_aM_1 = O_aM_2 = O_bM_1 = O_bM_2 = R[/latex]
Donc le quadrilatère [latex]O_aM_1O_bM_2[/latex] a d'une part 4 côtés égaux, et d'autre part des diagonales qui se coupent en angles droits, c'est donc un losange et de ce fait [latex]\vec{O_aM_1} = \vec{M_2O_B}[/latex]
On construit un premier cercle [latex]C_1[/latex] de centre [latex]O_1[/latex], et on place un point A sur ce cercle.
On construit ensuite un cercle [latex]C_2[/latex] de centre [latex]O_2[/latex] qui coupe [latex]C_1[/latex] en A et en un autre point B, [latex]\vec{O_1A} = \vec{BO_2}[/latex]
On construit ensuite un cercle [latex]C_3[/latex] de centre [latex]O_3[/latex] qui coupe [latex]C_1[/latex] et [latex]C_2[/latex] en B et [latex]C_2[/latex] en un autre point D, [latex]\vec{BO_2} = \vec{O_3D}[/latex]
On construit ensuite un cercle [latex]C_4[/latex] de centre [latex]O_4[/latex] qui coupe [latex]C_2[/latex] et [latex]C_3[/latex] en D, [latex]C_3[/latex] en un autre point E, et enfin qui coupe [latex]C_1[/latex] en F [latex]\vec{O_3D} = \vec{EO_4}[/latex]
On construit enfin un cercle [latex]C_5[/latex] de centre [latex]O_5[/latex] qui passe par E et F. Il coupe [latex]C_1[/latex] une seconde fois en G.
Il coupe donc [latex]C_3[/latex] en E, [latex]C_4[/latex] en E et F, et [latex]C_1[/latex] en F et G. [latex]\vec{EO_4} = \vec{O_5F}[/latex] d'une part et [latex]\vec{O_5F} = \vec{GO_1}[/latex] d'autre part.
Au final, [latex]\vec{O_1A} = \vec{GO_1}[/latex] donc [AG] est un diamètre de [latex]C_1[/latex]
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