De manière expérimentale, je tombe sur cette formule pour la part du programme traitée :
[TeX]p = 1 - \frac {2^n - 1}{n \cdot 2^n}[/TeX]
Ça marche en tout cas pour n=100 avec p=0,990
Il me reste à l'argumenter...
Autre formulation, qui pourrait être plus conforme au raisonnement :
[TeX]p = 1 - \frac {1}{n} \cdot \left( 1 - \frac {1}{2^n} \right)[/TeX]

Bonjour,

Je vais raisonner en "journées" de cours (rang 1,2,3 ....n) et pas en (1/n) mais cela revient au même ...

Le premier jour le retard est de 1/2 journée
Le deuxième jour, le retard est de 1/4 de journée puisque le professeur souhaite faire l'équivalent de (1+1/2) journées de cours et n'en fait que la moitié, soit (1/2 + 1/4) soit 3/4
Le troisième jour, le retard est de 1/8 de journée puisque le professeur souhaite faire (1+1/4) =6/8 journées de cours et n'en fait que (1/2 + 1/8) soit 5/8

....

Le cumul des retards au jour de rang k se présente donc sous la forme
(1/2) + (1/4) + (1/8) + .....+(1/2^k)

Cette somme croissante converge rapidement vers sa borne supérieure 1, a-fortiori pour n= 100 jours

donc au bout de 100 jours, le professeur a enseigné 99/100 du programme.

La réponse à saisir est 0,990.

Nicolas

Tentative de raisonnement :
Notre professeur a un collègue qui raisonne de la même façon, mais qui était absent le premier jour. Le deuxième jour, le collègue veut faire deux séances en une mais n'en fait que la moitié. Le lendemain, ce collègue a encore une séance de retard, veut en faire deux d'un coup et n'en fait qu'une... Il a donc systématiquement une séance de retard et à la fin de l'année, la part du programme qu'il a traitée est [latex]q=\frac{n-1}{n}[/latex].

Revenons à notre professeur qui a pris une demi-séance d'avance sur son collègue le premier jour. Si les deux avaient réalisé leur contrat, ils se seraient retrouvés à égalité. Comme ils n'ont réalisé que la moitié de leurs objectifs, l'avance du premier s'est trouvée divisée par 2. Et chaque jour suivant, on retrouve cette division par 2. En conclusion : [latex]p=q + \frac{1}{n} \cdot \frac {1}{2^n}=\frac{n-1}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac {1}{2^n}[/latex]

Pas trop tordu si on si prend bien

On note [latex]1[/latex] la quantité de programme idéalement réalisée durant une séquence et [latex]a_n[/latex] la quantité de programme réalisée effectivement après [latex]n[/latex] séquences :
[TeX]2a_n=a_{n-1}+n[/TeX]
[TeX]4a_n=2a_{n-1}+2n=a_{n-2}+(n-1)+2n [/TeX]
[TeX]8a_n=2a_{n-2}+2(n-1)+2^2n=a_{n-3}+(n-2)+2(n-1)+2^2n[/TeX]
...
[TeX]2^na_n=1.2^0+2.2^1+3.2^2+...+n.2^{n-1}[/TeX]
Ce qui donne [latex]a_n=n-1+2^{-n}[/latex] et la proportion du programme traitée [latex]\displaystyle{P=\frac{a_n}{n}=1-\frac 1n+\frac 1{n.2^n}}[/latex] .

On remarque que pour [latex]n[/latex] assez grand ça revient pratiquement à prendre une séquence de retard 

Vasimolo

Bravo à tous ceux qui ont trouvé 1-1/n+1/(n*2^n)
Les autres réponses il y a un mélange d'indice, mais pour n=100 le résultat donné est (environ) le même.
Le programme traité sera donc équivalent ~ au programme total pour n grand !

A bientôt,
MMorgan