http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-cer.pdf

Apres quelques calculs, en passant par le diametre des cercles verts multipliés entre eux égal 4, on trouve que l'aire bleue égale 2*PI, soit 6.283185...

Bonsoir

J'en ai vu des pires

On note a , b et c les trois rayons en ordre croissant , comme c=b+a , alors l'aire bleue vaut : [latex]A=\pi(c^2-b^2-a^2)=2\pi ab[/latex]




Mais la propriété de Pythagore dans le triangle ci-dessus donne ab=1 et [latex]A=2\pi[/latex]

Vasimolo

Si on appelle R le rayon du disque bleu, R1 et R2 les rayons du grand disque et du petit disque vert, on a R = R1 + R2 et l'aire bleue est:
[TeX]A = \pi R^2 - \pi R_1^2 - \pi R_2^2[/TeX]
[TeX]A = \pi [( R - R_1 )( R + R_1 ) - R_2^2][/TeX]
[TeX]A = \pi [ R_2 ( R + R_1 -R_2)][/TeX]
[TeX]A = 2 \pi R_2 R_1[/TeX]
Ensuite, on peut regarder le triangle rectangle rouge:


On a alors (Pythagore):
[TeX]2^2 + (R_1 - R_2)^2 = ( R_1 + R_2)^2[/TeX]
on trouve: [latex]R_2 R_1 = 1[/latex]

L'aire bleue est donc égale à [latex]2 \pi [/latex]!

Dans un premier temps il est (relativement) facile de montrer que la multiplication des longueurs des deux diametre des deux cercles vert est égale a 4 (la méthode la plus facile étant d'aprés moi en utilisant le fais que quand on trace le diametre reliant les deux points commun aux cercle vert et au cercle bleu et en reliant les deux point des extrémité avec l'intersection du cercle avec le trait rouge on forme un triangle rectangle (propriété d'un cercle) et en calculant son aire de deux maniere : hauteur*base /2 = multiplication des deux cotés de l'angle droit / 2 (en utilisant le théoreme de pithagore et en élevant les deux partie de l'égalité au caré) puis on simplifie le tout).

Ca parrait compliqué mais c'est en faites trés trés simple je résume arrivé ici on a trouver que la multiplication des deux diametre des cercles vert est égale a 4 .... j'esperes que j'ai perdu personne.

une fois trouvé ca tout est fini : il suffit de calculé l'aire bleu. Pour simplifier les écriture je vais noté a le diametre du "petit cercle vert" et b le diamettre du "grand cercle vert" et S l'"aire bleu". J'ai vraiment peur d'avoir perdu tout le monde ! XD.

on a   S= (aire du cercle bleu) - aire du "petit cercle vert" - aire du "grand cercle vert"
           = ((a+b)/2)² * Pi    - (a/2)²*Pi - (b/2)*Pi
           =  ab/2 * Pi      (identité remarquable)
           = 2Pi                (car ab=4)



PS: escusez moi pour la complexicité de mon explication mais je n'arrive pas a écrire des formule sur un forum :s:s

Salut, je trouve que l'aire bleue vaut [latex]2\pi[/latex].

En effet, [latex]Aire_{bleue}=\pi\times(R^2-r_1^2-r_2^2)=2\pi r_1r_2[/latex], où R est le rayon du cercle bleu, [latex]r_1[/latex] celui du petit cercle vert et [latex]r_2[/latex] de l'autre cercle vert.
Ensuite, en traçant le diamètre horizontal du cercle bleu, on obtient trois triangles rectangles dans le demi-cercle supérieur. En utilisant le théorème de Pythagore, il vient la relation [latex]r_1r_2=1[/latex]. D'où le résultat.

L'aire n'est pas indépendante des rayons. Tu as juste pris un cas particulier qui fait que R1R2 = 1.

Enfin, je n'ai pas tout compris aux démonstrations, mais il me semble que c'est ça.

La barre rouge mesure 4 unités. C'est donc bien un cas particulier, non ? Comme tu le dis toi même, si tu changes les rayons, alors tu changes la valeur de la barre rouge. Le résultat reste 2pi quand même ?

OK merci, Scrablor, j'ai pigé.