Deux chiffres : 98 n'est multiple ni de 8, ni de 9, ni de 17.
Trois chiffres : 998 n'est multiple ni de 8, ni de 9, ni de 26.

(Je soupçonne une récurrence, là-dedans...)

Soit le nombre à n chiffres [latex]x_n = 10^{n+1}-2[/latex]. Ce nombre se terminant par 98, il n'est pas divisible par 8. La somme des chiffres de ce nombre valant [latex]9n-1[/latex], ce nombre n'est pas divisible par 9. Reste la question de savoir s'il est divisible par [latex]9n-1[/latex]... En calculant à la main, il semble que oui pour tout n entre 2 et 10, ce qui répond à la question que tu as posé. Peut-on en dire de même pour tout n ? Là, je doute plus...

Bonjour,

2 chiffres : 98 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 17)
3 chiffres : 998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 26)
4 chiffres : 9998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 35)
5 chiffres : 99998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 44)
6 chiffres : 999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 53)
7 chiffres : 9999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 62)
8 chiffres : 99999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 71)
9 chiffres : 999999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 80)
10 chiffres : 9999999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 89)

23
203
2003
20003
...

les nombres de type 2(0*)3 ne sont pas divisibles par 0, 2, 3 et 5. Ce sont donc des nombres idéaux.
Ce sont les plus petits car le premier chiffre ne peut pas être 0 (sinon le nombre n'a plus la bonne taille) ni 1 (forcément diviseur). Les chiffres suivants ne peuvent pas être plus petits que 0 et le dernier chiffre ne peut pas être plus petit que 3 : 1 divise tout et si on mettait 2 ou 0, le nombre serait divisible par le chiffre 2.

98, 998, 9998, 99998, 999998, 9999998, 99999998, 999999998, 9999999998.

scarta a écrit:

[...]
Reste à vérifier que pour tout n, (10^n -2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8, et c'est bien le cas.
[...]
Est-ce que pour tout n, (10^n-2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8 = 9n-1?
Je ne sais pas

Petite contradiction?

Pour ma part, j'ai verifié que (10^n-1) modulo (9n-1) n'est pas égal a 1 pour tout 'n' entre 2 et 100000. Et je tente le million de chiffres...mais ca va prendre un peu de temps...

Edit:
(10^n-2) n'est toujours pas un multiple de 9n-1 jusqu'à 1000000 de chiffres apres quelques 7 heures de calculs.
Je pousse maintenant jusqu'à 10 millions de chiffres.

Merci mais ce n'était pas la question posée, donc arrête toi là!!

shadock a écrit:

Merci mais ce n'était pas la question posée, donc arrête toi là!!

Oui je sais bien que ce n'est pas la question posée, mais on peut se demander si oui ou non, quand on tends vers l'infini parmi les nombres de la forme 98, 998, 9998, 99998, etc... l'un d'entre eux sera divisible par la somme de ses chiffres...
Et si ca n'arrive jamais, on peut se demander pourquoi.
C'est un peu ce que demand Scarta dans son dernier message...

Si on suppose, sans faire la division que les chances que 98 soit divisible par la somme de ses chiffres, on a 1 chance sur 17, soit 94.1% de chance qu'il ne soit pas divisible.
de meme pour 998, on a 1 chance sur 26, etc...
Si on calcule de cette facon les chances qu'AUCUN nombre de cette serie ne soit divisible par la somme de ses chiffres, on obtient:
A 698 chiffres, les chances tombent en dessous de 50%
A 1 000 000 chiffres, les chances sont de 22.3%
A 10 000 000 chiffres, les chances sont de 17.26%
A 400 000 000 chiffres, les chances sont de 11.46%
Maintenant, si on additionne les probabilités d'avoir un de ces nombres qui divise la somme de ses chiffres,
on devrait avoir atteint:
- 1 nombre apres 11482 chiffres
- 2 nombres apres 93 037 352 chiffres.

*chuchote* Il fait semblant...



Ben oui, il est fort, le monsieur Dan, tu savais pas encore ?

Bien vu. Ca permet d'eliminer 20% des calculs.
De mon coté j'ai trouvé une methode qui permet de racourcir les calculs egalement
d'a peu pres 8.3% jusqu'a 30000 chiffres, 8.56% jusqu'a 40000 chiffres, 9.11% entre 40000 et 50000 chiffres, et ansi de suite... donc peut-etre un autre 20% dans les millions de chiffres.
Tout ca me permettra peut-etre de continuer jusqu'a ce que je trouve un nombre qui est divisible...
Enfin, avant de relancer un programme qui tournerais pendant plusieurs semaines, je cherche encore d'autres methodes qui permettent de diviser les temps de calculs par un facteur appreciable.

On peut aussi virer tous les n tels que
Edit: n = 1[4] marche aussi
n = 4[5]
n = 5[11]
n = 3[13]
n = 33[37]
n = 32[41]
n = 24[43]
n = 6[53]
n = 15[67]
n = 65[73]
n = 44[79]
n = 37[83]

Edit: P n'est pas forcément premier, mais premier avec 9 suffirait
Plus généralement, cette fonction devrait, pour un nombre P premier avec 9 plus grand que 3, renvoyer si elle existe la valeur q telle qu'il est inutile de tester les nombres congrus à q modulo P.
Si 10^n -2 peut être un multiple de P, alors on ne peut rien affirmer. Sinon, il y a un (et un seul) q tel que 9q-1 % p soit nul, vu qu'on ajoute 9 à chaque fois, et que le ppcm(9,p) = 9p (c'est d'ailleurs pour vérifier ça que je dis au début P > 3); du coup la plus petite période est p, et on a p valeurs différentes dans Z/pZ donc un et un seul zéro.

CasAnnulables (entier p)
- Si p non premier avec 9 ou p<4 => quitter
- initialiser un tableau T[1..p-1] de booléens, tous faux
- variable i := 8 % p
- Tant que i !=0  et tant que T[i] est faux
-  - T[i] := vrai
-  - i := (10*i+18) % p
- Boucler
- Si i = 0 => quitter
- i := 8
- Pour j allant de 2 à p
-  - i = (i+9) % p
-  - Si i = 0 => quitter, retourner j
- Boucler

On a 12 nombres premiers avec 9 inférieurs à 100 qui renvoient un résultat. En utilisant le principe d'inclusion/exclusion on peut calculer le pourcentage de calculs en moins si on prend en compte ces exceptions: ~56.6% de calculs en moins