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#1 - 04-10-2010 17:33:10
- Promath-
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es nombres idéaux
Un nombre est dit idéal s'il n'est pas le multiple d'un des chiffres qui le composent ou de leur somme. 23 est un nombre idéal car il n'est pas le multiple de 3, ni de 2 et ni de 5.
Quel est le plus grand nombre idéal de 2chiffres 3chiffres 4chiffres 5chiffres 6chiffres 7" 8" 9" 10" Bonne chance!
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#2 - 04-10-2010 18:02:28
- MthS-MlndN
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les nombres idéaix
Deux chiffres : 98 n'est multiple ni de 8, ni de 9, ni de 17. Trois chiffres : 998 n'est multiple ni de 8, ni de 9, ni de 26.
(Je soupçonne une récurrence, là-dedans...)
Soit le nombre à n chiffres [latex]x_n = 10^{n+1}-2[/latex]. Ce nombre se terminant par 98, il n'est pas divisible par 8. La somme des chiffres de ce nombre valant [latex]9n-1[/latex], ce nombre n'est pas divisible par 9. Reste la question de savoir s'il est divisible par [latex]9n-1[/latex]... En calculant à la main, il semble que oui pour tout n entre 2 et 10, ce qui répond à la question que tu as posé. Peut-on en dire de même pour tout n ? Là, je doute plus...
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#3 - 04-10-2010 21:08:00
- shadock
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Les nombres déaux
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#4 - 05-10-2010 13:14:29
- Emigme
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es nombres idéaux
Bonjour,
2 chiffres : 98 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 17) 3 chiffres : 998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 26) 4 chiffres : 9998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 35) 5 chiffres : 99998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 44) 6 chiffres : 999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 53) 7 chiffres : 9999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 62) 8 chiffres : 99999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 71) 9 chiffres : 999999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 80) 10 chiffres : 9999999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 89)
Il n'y a pas de problèmes : il n'y a que des solutions. Si il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.
#5 - 05-10-2010 17:28:11
- scarta
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Les nmobres idéaux
Un nombre composé uniquement de 9 (10^n -1) n'est pas idéal, puisque multiple de 9. Par contre un nombre composé uniquement de 9 et d'un 8 final (10^n -2) n'est pas un multiple de 9, et pas non plus un multiple de 8 puisque 1000K + 998 est congru à 6 modulo 8 pour tout K. Reste à vérifier que pour tout n, (10^n -2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8, et c'est bien le cas. Les réponses sont donc 98, 998, 9998, 99998 ....
Est-ce que pour tout n, (10^n-2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8 = 9n-1? Je ne sais pas
#6 - 06-10-2010 16:51:14
- Nicouj
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les bombres idéaux
23 203 2003 20003 ...
les nombres de type 2(0*)3 ne sont pas divisibles par 0, 2, 3 et 5. Ce sont donc des nombres idéaux. Ce sont les plus petits car le premier chiffre ne peut pas être 0 (sinon le nombre n'a plus la bonne taille) ni 1 (forcément diviseur). Les chiffres suivants ne peuvent pas être plus petits que 0 et le dernier chiffre ne peut pas être plus petit que 3 : 1 divise tout et si on mettait 2 ou 0, le nombre serait divisible par le chiffre 2.
#7 - 06-10-2010 17:00:46
- franck9525
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lrs nombres idéaux
c'est toujours 99....9998 le plus grand idéal, en tout cas jusqu'à 10 chiffres. Il n'est jamais divisible par 8 ou par 9.
Au delà, il y en peut etre divisible par la somme de ces nombres mais il est loin.
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#8 - 06-10-2010 23:35:49
- octopussy
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Les nnombres idéaux
98, 998, 9998, 99998, 999998, 9999998, 99999998, 999999998, 9999999998.
#9 - 07-10-2010 21:12:33
- Nicouj
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Les nombre sidéaux
je crois que je devrais faire un tour chez l'ophtalmo O_o
#10 - 09-10-2010 18:37:12
- dhrm77
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lzs nombres idéaux
scarta a écrit:[...] Reste à vérifier que pour tout n, (10^n -2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8, et c'est bien le cas. [...] Est-ce que pour tout n, (10^n-2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8 = 9n-1? Je ne sais pas
Petite contradiction?
Pour ma part, j'ai verifié que (10^n-1) modulo (9n-1) n'est pas égal a 1 pour tout 'n' entre 2 et 100000. Et je tente le million de chiffres...mais ca va prendre un peu de temps...
Edit: (10^n-2) n'est toujours pas un multiple de 9n-1 jusqu'à 1000000 de chiffres apres quelques 7 heures de calculs. Je pousse maintenant jusqu'à 10 millions de chiffres.
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#11 - 30-10-2010 19:16:22
- dhrm77
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les nombres iséaux
Apres 21 jours de calculs, mon programme a finalement atteint 10 000 000 de chiffres. et (10^n-2) n'est toujours pas un multiple de 9n-1. Je ne pense pas que je pousserais plus loin.
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#12 - 30-10-2010 22:11:47
- shadock
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Les nombress idéaux
Merci mais ce n'était pas la question posée, donc arrête toi là!! ![wink](img/smilies/wink.png)
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#13 - 30-10-2010 22:59:05
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Les nombrse idéaux
la question est force simple
il suffit juste de partir de + grand nombre
2 chiffres -> 99 qui est divisible par 9 puis 98 idem -> 999 qui est divisible 998 . . .
après il faut comprendre la suite logique !
#14 - 30-10-2010 23:13:38
- dhrm77
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Les nombres idéau
shadock a écrit:Merci mais ce n'était pas la question posée, donc arrête toi là!! ![wink](img/smilies/wink.png)
Oui je sais bien que ce n'est pas la question posée, mais on peut se demander si oui ou non, quand on tends vers l'infini parmi les nombres de la forme 98, 998, 9998, 99998, etc... l'un d'entre eux sera divisible par la somme de ses chiffres... Et si ca n'arrive jamais, on peut se demander pourquoi. C'est un peu ce que demand Scarta dans son dernier message...
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#15 - 31-10-2010 00:16:09
- shadock
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mes nombres idéaux
C'est vrai, je suis d'accord avec toi je trouve ça, personnelement, assez étonnant ![yikes](img/smilies/yikes.png)
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#16 - 31-10-2010 14:09:02
- dhrm77
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les nombres idéayx
Si on suppose, sans faire la division que les chances que 98 soit divisible par la somme de ses chiffres, on a 1 chance sur 17, soit 94.1% de chance qu'il ne soit pas divisible. de meme pour 998, on a 1 chance sur 26, etc... Si on calcule de cette facon les chances qu'AUCUN nombre de cette serie ne soit divisible par la somme de ses chiffres, on obtient: A 698 chiffres, les chances tombent en dessous de 50% A 1 000 000 chiffres, les chances sont de 22.3% A 10 000 000 chiffres, les chances sont de 17.26% A 400 000 000 chiffres, les chances sont de 11.46% Maintenant, si on additionne les probabilités d'avoir un de ces nombres qui divise la somme de ses chiffres, on devrait avoir atteint: - 1 nombre apres 11482 chiffres - 2 nombres apres 93 037 352 chiffres.
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#17 - 01-11-2010 01:49:20
- shadock
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Les nombrees idéaux
Bah moi là j'ai juste envie d'applaudire on voit que tu t'y connais.
![smile](img/smilies/smile.png)
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#18 - 01-11-2010 12:38:10
- MthS-MlndN
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les nombres idéayx
*chuchote* Il fait semblant...
![lol](img/smilies/lol.png)
Ben oui, il est fort, le monsieur Dan, tu savais pas encore ? ![smile](img/smilies/smile.png)
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#19 - 01-11-2010 13:07:34
- cogito
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Les nombrs idéaux
Si n est congru à 4 modulo 5 alors dans ce cas là on est sûr que 10^n - 2 n'est pas divisible par 9n-1 ![big_smile](img/smilies/big_smile.png) car si n est congru à 4 mod 5 alors 9n-1 est un multiple de 5 ce qui n'est pas le cas de 10^n - 2. Pour les autres cas je ne vois pas de raison particulière qui empêcherai 9n-1 de diviser 10^n-2. ![hmm](img/smilies/hmm.png)
Il y a sûrement plus simple.
#20 - 02-11-2010 02:03:10
- dhrm77
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Les nombrse idéaux
Bien vu. Ca permet d'eliminer 20% des calculs. De mon coté j'ai trouvé une methode qui permet de racourcir les calculs egalement d'a peu pres 8.3% jusqu'a 30000 chiffres, 8.56% jusqu'a 40000 chiffres, 9.11% entre 40000 et 50000 chiffres, et ansi de suite... donc peut-etre un autre 20% dans les millions de chiffres. Tout ca me permettra peut-etre de continuer jusqu'a ce que je trouve un nombre qui est divisible... Enfin, avant de relancer un programme qui tournerais pendant plusieurs semaines, je cherche encore d'autres methodes qui permettent de diviser les temps de calculs par un facteur appreciable.
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#21 - 02-11-2010 12:04:33
- scarta
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Les nombres iidéaux
dhrm77 a écrit:scarta a écrit:[...] Reste à vérifier que pour tout n, (10^n -2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8, et c'est bien le cas. [...] Est-ce que pour tout n, (10^n-2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8 = 9n-1? Je ne sais pas
Petite contradiction?
Non, ce que je voulais dire, c'est "reste à vérifier que pour tout n dans les limites de l'énoncé, ce n'est pas un multiple de 9n-1
En tout cas, bravo pour avoir poussé le brute force aussi loin ![smile](img/smilies/smile.png)
#22 - 02-11-2010 12:57:46
- scarta
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Les nombrse idéaux
On peut aussi virer tous les n tels que Edit: n = 1[4] marche aussi n = 4[5] n = 5[11] n = 3[13] n = 33[37] n = 32[41] n = 24[43] n = 6[53] n = 15[67] n = 65[73] n = 44[79] n = 37[83]
Edit: P n'est pas forcément premier, mais premier avec 9 suffirait Plus généralement, cette fonction devrait, pour un nombre P premier avec 9 plus grand que 3, renvoyer si elle existe la valeur q telle qu'il est inutile de tester les nombres congrus à q modulo P. Si 10^n -2 peut être un multiple de P, alors on ne peut rien affirmer. Sinon, il y a un (et un seul) q tel que 9q-1 % p soit nul, vu qu'on ajoute 9 à chaque fois, et que le ppcm(9,p) = 9p (c'est d'ailleurs pour vérifier ça que je dis au début P > 3); du coup la plus petite période est p, et on a p valeurs différentes dans Z/pZ donc un et un seul zéro.
CasAnnulables (entier p) - Si p non premier avec 9 ou p<4 => quitter - initialiser un tableau T[1..p-1] de booléens, tous faux - variable i := 8 % p - Tant que i !=0 et tant que T[i] est faux - - T[i] := vrai - - i := (10*i+18) % p - Boucler - Si i = 0 => quitter - i := 8 - Pour j allant de 2 à p - - i = (i+9) % p - - Si i = 0 => quitter, retourner j - Boucler
On a 12 nombres premiers avec 9 inférieurs à 100 qui renvoient un résultat. En utilisant le principe d'inclusion/exclusion on peut calculer le pourcentage de calculs en moins si on prend en compte ces exceptions: ~56.6% de calculs en moins
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