vasimolo a écrit:

Le problème est plutôt plus facile que ceux auxquels je vous ai habitué alors même ceux qui ne font des maths que contraints et forcés peuvent essayer celui-là .

Il faudrait déjà que je comprenne l'énoncé 

En attendant, voici

et un joli moule pour tes futurs gâteaux 

La moyenne de chaque sac augmente ??? Mais comment c'est-y possible un truc pareil tiens ? Ah ben oui, il n'y a pas le même nombre de billes 

Donc soient x et y, x<y le nombre de billes dans les deux sacs. Soient m et n les moyennes de ces deux sacs au départ. On a donc 3 équations:
(mx + 99) / (x+1) = m+1 => nouvelle moyenne du petit sac
(ny - 99) / (y-1) = n+1 => nouvelle moyenne du grand sac
mx + ny = 9991 => somme totale des nombres inscrits sur les billes

1) mx + 99 = mx + x + m + 1
m = 98 - x
2) ny - 99 = ny + y - n -1
n = 98 + y
3) mx + ny = 9991
98x - x² + 98y + y² = 9991
98(x+y) + (x+y)(y-x) = 9991
(x+y)(98+y-x) = 9991

9991 = 1*9991 = 97*103 (tous les deux premiers)
Comme x < y, (98+y-x) > 98, et donc c'est soit 103, soit 9991. Comme x+y est différent de 1, on a donc
x+y = 97
y-x = 5

Donc au final : x = 46 et y = 51

J'aime !!

Bonjour,

Après prêt d'un an d'inactivité me revoilà.

Raisonnement par récurrence :

Nombre de billes impaire

1er cas : 1 billes

pas de moyenne déterminée dans le sac ne contenant aucune bille
--> à rejeter

2ème cas : 3 billes

101 et 99 dans un sac (moyenne 100)
97 dans l'autre (moyenne 97)

après changement:
101 dans un sac (moyenne 101=100+1)
99 et 97 dans l'autre (moyenne 98=97+1)

mais 101+99+97=297.

3ème cas: 5 billes:

103, 101 et 99 dans un sac (moyenne 101)
97 et 95 dans l'autre (moyenne 96)

après changement:

103 et 101 dans un sac (moyenne 102=101+1)
99, 97 et 95 dans l'autre (moyenne 97=96+1)

mais 103 + 101 + 99 + 97 + 95 = 495

4ème cas: 7 billes:

105, 103, 101 et 99 dans un sac (moyenne 102)
97, 95 et 93 dans l'autre (moyenne 95)

après changement:

105, 103 et 101 dans un sac (moyenne 103=102+1)
99, 97, 95 et 93 dans l'autre (moyenne 96=95+1)

mais 105 + 103 + 101 + 99 + 97 + 95 + 93 = 693

et par récurrence, je n'obtiens pas de solution:
C'est bien hein !?!
Je pourrais généraliser en remplaçant 105, 103 et 101 par 3 nombres dont la moyenne reste 103 mais ça ne change rien.
Mon plus gros problème étant le drink que j'ai eu à midi.

Je repasserai

Et moi je t'offre toutes celles-là

Le premier sac de billes contenait 51 billes pour un total de 7599 et donc une moyenne de 149. Le second sac de billes contenait 46 billes pour un total de 2392 et une moyenne de 52. les deux sacs valent ensemble 7599+2392 = 9991

une bille est enlevée du premier sac et mise dans le second, sa valeur est 99

Le premier sac de billes contient alors 51-1=50 billes pour un total de 7599-99=7500 et donc une moyenne de 150=149+1. Le second sac de billes contient alors 46+1=47 billes pour un total de 2392+99=2491 et une moyenne de 52+1=53.

les valeurs 51 et 46 sont les uniques solutions de l’équation
x(x+98)+y(98-y)=9991 avec x>y et x et y entiers positifs (c'est le nombre de billes!!)

Un excellent problème certainement plus logique qu'algébrique mais il reste bien difficile je pense.

Voila qui célèbre un fidélité certaine à P2T. Attention la barre des milles porte la poisse (et un pétage de cerveau), que dieu t'en préserve!

Vasimolo, tes problèmes en maths me dépassent assez souvent, mais pour ton 1000ème message (bienvenue parmi l'élite), j'ai voulu faire honneur à cet excellent problème

Je pose :
n1 : nombre entier de billes dans le sac 1
n2 : nombre entier de billes dans le sac 2
x : somme des étiquettes des billes dans le sac 1

avec :
n1 < n2
et n1 > 0 (sinon impossible de calculer la moyenne des étiquettes du sac 1)
et n2 > 1 (sinon impossible de calculer la moyenne des étiquettes du sac 2 après la bille ôtée)


Je mets le problème en équations :
1)    x / n1  +  1  =  (x + 99) / (n1 + 1)
2)    (9991 - x) / n2  +  1  =  (9892 - x) / (n2 - 1)

Donc :
1)    n1² - 98.n1 + x  =  0
2)    n2² + 98.n2 + x-9991  =  0


Je résous ensuite 1) avec n1 pour variable :
Δ  =  98² - 4x  =  4.(2401 - x)
deux solutions pour n1 en fonction de x :
n1A  =  49 + √(2401 - x)
n1B  =  49 - √(2401 - x)

On sait que n1 est entier
Donc √(2401 - x) est entier
Alors x est entier, et x <=2401


D'autre part, je résous 2) avec n2 pour variable :
Δ  =  98² - 4x + 39964  =  4.(2401 - x + 9991)
deux solutions pour n2 en fonction de x :
n2A  =  -49 + √(12392 - x)
n2B  =  -49 - √(12392 - x)


Comme je ne vois pas trop comment n'en déduire que les solutions entières mathématiquement, j'utilise mon tableur préféré, et trouve une seule solution avec n1 < n2 :
n1 = 46 et n2 = 51

Ainsi, :
Dans le sac 1 il y avait 46 billes, et dans le sac 2 il y avait 51 billes

Puisque pour fêter tes MILLE,
tu as choisi le thème de la BILLE,
voici quelques définitions :

_ILLE (s'oppose à la campagne)
_ILLE (frotte avec de l'ail)
_ILLE (poëme mordant et satirique des Grecs)
_ LLE (rejoint la Vilaine)
_ILLE (on peut mettre en plein de dedans)
_ILLE (sorte de ragoût fait de divers légumes et viandes cuits ensemble)
_ILLE (au Nord, c'est la préfecture)
_ILLE (préparation culinaire espagnole mélangeant des viandes, des légumes et toutes sortes d'assaisonnements)



Appelons [latex]X[/latex] le nombre de billes dans le sac duquel on enlèvera une bille, et [latex]S[/latex] la somme des nombres inscrits sur ses billes.
Alors la moyenne s'écrit [latex]S/X[/latex].
Lorsqu'on enlève la bille 9, la moyenne s'écrit [latex](S-99)/(X-1)[/latex].
D'où l'équation [latex](S-99)/(X-1) = S/X + 1[/latex]
Dans l'autre sac, le nombre de billes est appelé [latex]Y[/latex] et la somme vaut [latex]9991-S[/latex].
On obtient l'équation [latex](9991-S+99)/(Y+1) = (9991-S)/Y + 1[/latex]

A partir de ces deux équations, on peut éliminer S, puis chercher les couples (X, Y) d'entiers strictement positifs qui obéissent à l'équation résultante.
A suivre...
Klim.

pareil, j'ai eu la même approche, j'ai essayer les produit en croix  pour voir si une équation du second dégré était la clé mais je coince toujours avec S


(S-99)/(X-1) = S/X + 1
(S-99)/(X-1) = S+X/X
(S-99)*X = (S+X)*(X-1)
SX-99X = SX+X²-S-X
-99X = X²-S-X
X²+98X-S=0

(9991-S+99)/(Y+1) = (9991-S)/Y + 1
(10090-S)/(Y+1) = (9991-S+Y)/Y
(10090-S)*Y = (9991-S+Y)*(Y+1)
10090Y-SY=9991Y-SY+Y²+9991-S+Y
10090Y=9991Y+Y²+9991-S+Y
10090Y=9992Y+Y²+9991-S
Y²-98Y+9991-S=0

d'un autre coté X²+98X-S=Y²-98Y+9991-S
on peut faire sauter S : X²+98X=Y²-98Y+9991
mais je ne voit pas ou ça peut mener

PS : LOL ... je vois de m'apercevoir que la réponse à été donner, sérieux je n'ai pas le niveau