Enigme Vingt billes @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjoour à tous,
20 billes sont disposées aléatoirement dans un rail guide de longueur L avec butées d'extrémité. On les numérote de 1 à 20 de G à D. Elles reçoivent toutes en même temps une pichenette, soit vers la droite, soit vers la gauche, de sorte qu'elles parcourent chacune l'équivalent de L jusqu'à l'arrêt. Si on néglige les pertes d"energie par rebonds (billes entre elles ou contre les butées), ainsi que le diamètre des billes, et si aucune ne touche les butées au départ, donner le nombre de rebonds de chacune d'entre elles si:
les billes 1,3,4,8,11,12,18,19,20 sont lancées à droite.
les billes 2,5,6,7,9,10,13,14,15,16,17 sont lancées à gauche ?

Bonne recherche.

enigmatus · #2

Bonjour,

de sorte qu'elles parcourent chacune l'équivalent de L jusqu'à l'arrêt.

Je suppose que tu parles de l'arrêt de l'expérience, parce que la vitesse absolue de chacune des billes ne change pas.

On trace d'abord les trajectoires des billes dans le repère (abscisse,temps), comme si chacune était seule. Chaque bille effectue un et un seul rebond sur les bords. Quand deux billes se rencontrent, chacune repart en sens inverse avec la même vitesse, ce qui ne modifie pas le diagramme global.

Pour N billes, le nombre de collisions total est C(N,2)=N*(N-1)/2 collisions entre billes, et N collisions sur les bords, soit un total de N*(N+1)/2 collisions.
~~Chaque bille a en moyenne (N+1)/2 collisions~~, mais le nombre n'est pas forcément identique pour chaque bille (on le voit facilement avec 2 billes).

Pour N=20, on trouve 210 collisions au total.

Correction : Chaque bille a N-1 collisions avec les autres billes, et en moyenne N/N collisions avec les bords. Le nombre moyen de collisions par bille est donc N.

nodgim · #3

Enigmatus, je suis d'accord avec ton résultat, mais ce n'est pas le total qui est demandé, mais bien le nombre de collisions de chacune des billes.

Sinon, si j'ai dit qu'on ne tenait pas compte des pertes d'énergie par choc, le roulement fait ralentir les billes jusqu'à l'arrêt. Ce qui est essentiel, c'est que ttes les billes ont la même vitesse à n'importe quel moment, pas forcément une vitesse constante.

enigmatus · #4

En mettant la distance parcourue au lieu du temps en ordonnée du diagramme, il ne change pas, et reste valable même si la vitesse varie.

Pour ce qui est du nombre de collisions de chaque bille,je n'ai pas d'idée pour l'instant.

Édité : On peut préciser que les billes internes ne rencontrent pas de bord, donc ont N-1 collisions. Les 2 billes externes ont aussi N-1 collisions avec les autres billes, et se partagent en plus N collisions avec les bords.

À suivre…

Édité (2) :
Dans le diagramme, le nombre de collisions sur le bord droit (resp. gauche) correspond au nombre de billes démarrant à droite (resp. gauche).
On a donc 9 collisions sur le bord droit, et 11 sur le gauche.

La réponse ci-dessous est erronée. Correction en #6.

Code:

Bille   1 :      28 collisions (19+9)
Billes  2 à 19 : 19 collisions
Bille  20 :      30 collisions (19+11)

nodgim · #5

Je ne suis pas d'accord avec tes chiffres, Enigmatus, mais comme tu ne développes pas ton raisonnement, je ne peux pas te dire où ça coince.

enigmatus · #6

Effectivement, j'avais inversé la numérotation. Voici ma réponse corrigée :
Elle est fausse aussi

Code:

Bille   1 :      30 collisions (19+11)
Billes  2 à 19 : 19 collisions
Bille  20 :      28 collisions (19+9)

nodgim · #7

Désolé, Enigmatus, mais les chiffres que tu donnes restent vraiment différents des miens. Peut être devrais tu réfléchir pour l'instant sur la config à 3 ou 4 billes ? Mettons 4 billes qui vont toutes à gauche.

enigmatus · #8

Je me suis complètement planté dans mon raisonnement (seul le nombre de rebonds sur les bords me semble correct, ainsi que le nombre total de collisions).
Avec 3 billes partant toutes à gauche, j'obtiens (5,3,1), et avec 4 (7,5,3,1).

Voici ce que je trouve pour le problème initial, après avoir tracé le diagramme :
(23, 24, 25, 26, 25, 23, 21, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 19, 17, 15, 14, 15, 16, 17)
mais je n'ai pas de solution générale.
On retrouve bien un total de N**2=400 rebonds.

nodgim · #9

Bravo Enigmatus ! On est d'accord maintenant, sur les config à 3 4 et 20 billes. Si on devait donner un mode d'emploi pour trouver ces chiffres, comment l'exprimerais tu ?

enigmatus · #10

nodgim a écrit:
Si on devait donner un mode d'emploi pour trouver ces chiffres, comment l'exprimerais tu ?

Du coup, j'ai fait un programme en python pour faire des tests

Code:

import sys

N=int(sys.argv[1])

# Initialisation des abscisses des billes
x=list(range(1,N+1))

# Initialisation des vitesses des billes
v=[-1]*N
for k in sys.argv[2:] : v[int(k)-1]=1

collis=[0]*N

for t in range(1,N+2) : # Boucle sur les temps
    for b in range(N) : # Boucle sur les billes
        x[b]+=v[b]
        if b :
            if x[b]<x[b-1] : # Les 2 billes se seraient croisées
                x[b-1],x[b]=x[b],x[b-1]
                v[b-1]*=-1; collis[b-1]+=1
                v[b]  *=-1; collis[b]  +=1
    if x[0]  ==0   : v[0]  *=-1; collis[0]  +=1 # Bord gauche
    if x[N-1]==N+1 : v[N-1]*=-1; collis[N-1]+=1 # Bord droit
    for b in range(1,N) :
        if x[b]==x[b-1] : # Les 2 billes sont à la même abscisse
            v[b-1]*=-1; collis[b-1]+=1
            v[b]  *=-1; collis[b]  +=1 

print(collis,sum(collis))

À lancer ainsi (du moins sous Linux)

Code:

python3 20_billes.py 20 1 3 4 8 11 12 18 19 20

On fournit le nombre de billes, et la position de celles partant à droite.

Quand toutes les billes partent à gauche, on constate que le nombre de collisions pour chaque bille, de gauche à droite, parcourt les nombres impairs de 2*N-1 à 1.

Je n'ai pas trouvé de règle dans le cas général.

Édité :

1) La somme du nb de collisions de 2 billes équidistantes des extrémités semble faire 2*N
2) Si on alterne les départs à droite et à gauche (même si nombre impair de billes), chaque bille semble avoir le même nombre de collisions (égal à N)

dylasse · #11

Ça me rappelle un problème avec des fourmis dans un tuyau…

Si les billes se croisaient sans se toucher, elles termineraient leur parcours de longueur L en étant rangées dans l’ordre inverse (le rail final serait le rail initial vu dans un miroir).

Nous allons mettre un dossard (de D1 à Dn) sur chacune des n billes (B1 à Bn). On imagine que lors d’un choc, les billes échangent leur dossard : le mouvement des dossards est celui des billes qui se croisent.
A l’état final, les dossards sont en ordre inverse alors que les billes sont dans le même ordre qu’au départ (elles ne peuvent pas se croiser).

Chaque dossard ne croise qu’une fois chaque autre dossard : il y a donc n-1 chocs impliquant le dossard i. Donc n(n-1)/2 chocs en tout (i varie de 1 à n et chaque choc implique 2 dossards).

Pour n=20, il y a 190 chocs en tout.

Comptons le nombre de chocs de la bille 1 :
La bille 1 est la bille porteuse des dossards qui rebondissent sur la butée de gauche : ce sont les 11 dossards qui partent vers la gauche. Donc la bille B1 rebondit 11 fois sur la butée gauche.
Chaque bille alterne un rebond à droite et un rebond à gauche.
La bille B1 commence vers la droite : premier choc à droite.
La bille B20 commence vers la droite, donc le dossard D20 commence vers la droite et s’arrêtera en allant vers la gauche, porté par la bille B1, qui termine donc sa course vers la gauche. Donc dernier choc de B1 à droite.
Donc B1 aura un choc de plus à droite qu’à gauche, soit 12 chocs à droite (sur B2).

B2 a donc 12 chocs à gauche (sur B1). Comme B2 commence vers la gauche (son lancer) et finit vers la gauche (l’opposé du lancer de B19). B2 a autant de chocs à droite qu’à gauche, soit 12.

On construit ainsi de proche en proche, le tableau comptabilisant les chocs à gauche (RG) et les chocs à droite (RB) pour les 20 billes.

RG #B RD
11 01 12
12 02 12
12 03 13
13 04 13
13 05 12
12 06 11
11 07 10
10 08 10
10 09 10
10 10 10
10 11 10
10 12 10
10 13 10
10 14 09
09 15 08
08 16 07
07 17 07
07 18 08
08 19 08
08 20 09

Ouf, bien content que la somme fasse 190 !

nodgim · #12

Dylasse, salut.
La démo est bien partie, mais j'ai dû arrêter la lecture au décompte des chocs: il ne faut pas oublier les rebonds aux extrémités du rail guide !

J'ai ajouté du temps pour ceux qui veulent encore participer.

dylasse · #13

Je n'ai pas du être clair. Je commence justement par les rebonds sur le rail gauche, faits par la bille B1 et qui sont au nombre de 11.
Dans le tableau final, les rebonds à gauche de la B1 et à droite de la B20 sont les rebonds sur les butées (nombres en italique).

nodgim · #14

En effet, Dylasse, il ne fallait pas que j'arrête la lecture si vite, l'explication vient juste après.
Ton décompte est OK, bravo. Ta méthode te permet de calculer de proche en proche les rebonds de toutes les billes. Saurais tu aussi trouver le nombre de rebonds de la bille 5 par exemple sans connaitre le décompte de la bille voisine ?

dylasse · #15

On peut également suivre tous les dossards qui vont transiter (ou finir) sur une bille donnée. Ce qui nous donnera le nombre de chocs d’une bille sans avoir besoin de connaître celui d’une de ces voisines.
Par exemple pour la bille 5. On va distinguer 5 groupes de dossards.
Les 4 dossards à gauche (D1 à D4) : ils terminent leur course à droite de B5 et ne vont rencontrer B5 qu'une seule fois en arrivant par sa gauche : 4 chocs à gauche.
Le dossard 5 : il repasse par B5 après rebond sur la butée gauche s'il part à gauche. C'est le cas : 1 choc à gauche.
Les dossards 6 à 15 : ils ne voient jamais B5 s'ils partent à droite ou passent 2 fois par B5 s'ils partent à gauche. Ici, 7 billes partent à gauche, donc 7 chocs à droite et 7 chocs à gauche.
Le dossard 16 : il finit par B5. Si B16 par à gauche, il passera une fois avant de s'y arrêter, s'il part à droite, il arrive sur B5 une fois pour s'y arrêter. Ici, B16 part à gauche, donc 1 choc à droite et 1 choc à gauche.
Enfin, les 4 dossards D17 à D20 passent 1 seule fois par B5 : 4 chocs à droite.

Décompte final : 13 chocs à gauche et 12 chocs à droite.

La formule générale est la suivante :
Pour la bille n (n entre 1 et 10), on a RG = (n-1)+Somme(i=n à 21-n) (si(Si=G;1;0)) et RD = n + Somme(i=n+1 à 20-n) (si(Si=G;1;0)).
Soit RT = 2n – 1 + 2 Somme(i=n à 21-n) (si(Si=G;1;0)) + si(Dn=G;1;0)) + si(S21-n=G;1;0)).
Notation : RG, RD, RT : nombre de rebond à gauche, droite ou total. Sn : sens du mouvement initial de la bille n (G à gauche, D à droite).

Une formule symétrique peut s’établir pour les billes de 11 à 20.

nodgim · #16

C'est parfait Dylasse, tout est dit et bien dit.

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

#1 - 31-05-2015 10:13:13

vongt billes

#0 Pub

#2 - 01-06-2015 07:39:54

Vingt bilels

#3 - 01-06-2015 08:01:30

vingt nilles

#4 - 01-06-2015 08:43:32

vingt billed

Code:

#5 - 01-06-2015 11:26:03

Vinngt billes

#6 - 01-06-2015 13:02:32

vingt billzs

Code:

#7 - 01-06-2015 19:47:00

Vnigt billes

#8 - 01-06-2015 22:08:51

vingt villes

#9 - 02-06-2015 08:34:31

Vingt billles

#10 - 02-06-2015 10:09:44

Vinggt billes

nodgim a écrit:

Code:

Code:

#11 - 02-06-2015 23:32:05

vingt bimles

#12 - 03-06-2015 08:34:04

Vngt billes

#13 - 03-06-2015 08:45:44

Vingt illes

#14 - 03-06-2015 08:58:55

vingt bilkes

#15 - 03-06-2015 14:40:06

vongt billes

#16 - 03-06-2015 19:36:09

vingt bilkes

Réponse rapide

Sujets similaires

Pied de page des forums