On note V le volume intérieur de la casserole, et S sa surface intérieure.
[TeX]V=\pi r^2\times h\Leftrightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}[/TeX]
Si le volume est fixé, la surface ne dépend que du rayon :
[TeX]S(r)=2\pi r\times h+\pi r^2=\frac {2V}{r}+\pi r^2[/TeX]
C'est une fonction dérivable pour r>0, de dérivée
[TeX]S'(r)=-\frac{2V}{r^2}+2\pi r=\frac 2r\left(-Vr+\pi r^2\right)[/TeX]
L'étude du signe pour r>0 montre que le minimum de S est atteint pour
[TeX]r=\frac V{\pi}[/latex] et donc [latex]h=\frac\pi V[/TeX]
Edit : effectivement il y a une erreur : merci Nombrilist !
[TeX]S'(r)=-\frac{2V}{r^2}+2\pi r=\frac 2{r^2}\left(-V+\pi r^3\right)[/TeX]
Donc [latex]r=h=\left(\frac V{\pi}\right)^{\frac 13}[/latex]

J'avais dans l'idée un rapport rayon et hauteur qui donne le meilleur volume pour un rayon donné mais cela ne donne rien. Je n'ai pas du piger

Volume de la casserole
[TeX]V=\pi r^2 h[/TeX]
Surface
[TeX]S=\pi r^2+2\pi rh=\pi r(r+2h)
[/TeX]
Je pose h=kr, la hauteur de la casserole est proportionnelle à son rayon

Le raport V/S est maximum quand:
[TeX]\frac{V}{S}=\frac{\pi kr^3}{\pi r(r+2kr)}=r\frac{k}{1+2k}{[/TeX]
qui a pour maximum 1/2 quand h >> r ce qui donne une casserole instable !

Franck, avec le raisonnement que tu tiens, regarde du côté du volume de ta casserole.

Bonne réponse de dhrm77. Ce n'est pas obligatoire, mais si tu as envie de donner ton calcul, fais comme chez toi .

A dhrm77: Ouh le vilain ! Plus sérieusement, te prends pas autant la tête avec ces considérations de poignées etc. La casserole est comme je l'ai définie. Elle est simplifiée et n'a pas de poignée.

Excellente réponse de Yannek.

Note: la démonstration tient en 4 ou 5 lignes de calculs très simples. C'est un problème de niveau 1ère S.

On a V = pi*r^2*h, quant au volume de métal on a (2*pi*r*h + pi*r^2)*e avec e l'épaisseur du métal.

Donc h = V/(pi*r^2) et le volume de métal vaut alors
(2*V/r + pi*r^2)*e

On dérive cette quantité (pi, e et surtout V sont constants)
(-2*V/r^2 + 2*pi*r)*e.

La dérivée s'annule pour 2*pi*r = 2*V/r^2
r^3 = V/pi

La dérivé seconde vaut (4*V/r^3 + 2*pi)*e; elle est toujours positive pour r>0, donc la dérivée première est toujours croissante, donc la quantité de métal décroit jusqu'à son minimum pour r^3 = V/pi puis augmente à nouveau

Autrement dit, r = h; ou encore en bon français, une casserole 2 fois plus large que haute.

Si j'ai bien compris le problème, il s'agit de choisir [latex]h[/latex] et [latex]r[/latex] de façon à avoir la surface de métal utilisée la plus petite possible. C'est ça ?

On a donc un disque de rayon [latex]r[/latex] en bas, dont la surface est [latex]\pi r^2[/latex], et un cylindre de surface [latex]2 \pi r h[/latex]. Le problème est donc :
[TeX]\min ( r^2 + 2 r h )[/latex] sous la contrainte [latex]\pi r^2 h = V[/TeX]
La contrainte devient [latex]h = \frac{V}{\pi r^2}[/latex], ce qui change le problème en :
[TeX]\min r^2 + 2 \frac{V}{\pi r}[/TeX]
Je dérive la fonction [latex]f(r) = r^2 + 2 \frac{V}{\pi r}[/latex] :
[TeX]f'(r) = 2 r - 2 \frac{V}{\pi r^2}[/TeX]
Je cherche une racine, et j'obtiens :
[TeX]r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}[/TeX]

OK. Volume de la casserole : [latex]V = \pi r^2 h[/latex]

Rayon optimal : [latex]r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}[/latex]. Donc :
[TeX]h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi} \times \left( \frac{V}{\pi} \right)^{- \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}[/TeX]
Et voilà la beauté du résultat, celle que je ne trouvais pas : [latex]r = h[/latex] donne l'optimum recherché. Wouah, joli !