[TeX]\pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n^2}[/TeX]
Bon, d'accord, ça ne prouve pas que π² est un nombre univers, mais c'est déjà un début ^^

En effet Gwen, étant donné une séquence il n'est pas sûr du tout qu'elle se répète, c'est pour cela que ce n'est pas la question posée

Si ça n'était pas le cas, le développement de [latex]\pi^2[/latex] serait fini

Si l'on considère [latex]\pi^2[/latex] un irrationnel ayant une infinité de décimales ayant une équiprobabilité de se montrer.

une suite (C_1, ..., C_i, ..., C_n) a une probabilité strictement positive de se montrer à la k-ieme décimal: P=[\frac{1}{10}]^n

Le nombre de décimales étant infini, la suite se présentera avec certitude dans le développement décimal de [latex]\pi^2[/latex], il suffit d’être patient.

Une fois la suite trouvée, disons à la décimal k, il reste encore une infinité de décimales ce qui laisse toutes les chances de retrouver notre suite d'entier. En réitérant ce raisonnement, la suite de nombre se retrouve infiniment souvent.

Si aucune séquence de n chiffres ne se reproduisait un nombre infini de fois, le nombre de décimales de [latex]\pi^2[/latex] serait fini.
Ce qui n'est pas le cas.
Il existe donc pour tout n une séquence [latex](C[/latex]1, [latex] C[/latex]2, ,... ,[latex]C[/latex]n[latex])[/latex] qui se reproduit un nombre infini de fois dans le développement décimal de [latex]\pi^2[/latex].

C'est une variante simplifiée du problème du singe qui tape aléatoirement sur les touches d'une machine à écrire à l'infini, et dont on sait qu'il a une probabilité égale à 1 de taper une infinité de fois n'importe quel ouvrage de la littérature.
(Exemple donné dans les écoles pour faire sentir la notion d'infini).

Oui Hallodula, mais même remarque que pour Tromaril.

Alors, principe des tiroirs, merci pour l'indice ...
Soit r un réel, n un entier.
Il existe 10^n séquences différentes (c_1,\ldots,c_n) de n chiffres.

Supposons que chaque séquence [latex]S_k[/latex], pour k allant de 1 à 10^n, n'apparaît qu'un nombre [latex]n_k[/latex] de fois maximum, on arrive alors à une contradiction en observant les m premières décimales de notre réel, où m vérifie :
[latex]m=n+\sum_{k=1}^{10^n}n.n_k[/latex]. En effet, on a pris un nombre de décimales qui permet d'avoir la place pour toutes les séquences [latex]S_k[/latex] répétées [latex]n_k[/latex] fois, plus la place pour une séquence supplémentaire. Cette séquence existe déjà forcément avant (principe des tiroirs), et il existe k tel que [latex]S_k[/latex] se répète [latex]1+n_k[/latex] fois : contradiction.

Donc dans tout réel, pour tout n, il existe une séquence de n chiffres qui apparaît dans cet ordre un nombre infini de fois.

On découpe le développement décimal d'un irrationnel quelconque en tranches de n chiffres. Il y a 10^n combinaisons différentes.

Supposons que chaque combinaison apparaît un nombre fini de fois, et que tous ces nombres sont majorés par M. Le nombre de tranches serait alors nécessairement inférieur (ou égal) à M.10^n tranches, et donc le développement décimal de notre irrationnel serait fini, ce qui est absurde.

Donc notre supposition est fausse, son contraire est donc vrai, et le contraire de notre supposition est "il existe au moins une combinaison qui apparaît une infinité de fois", ce qui répond à la question. CQFD

Il y a au plus [latex]10^n[/latex] façon de choisir un nuplet de nombres [latex]c_i[/latex]

Si aucune séquence ne se répète une infinité de fois, ça veut dire qu'il existe un nombre k tel que chaque séquence apparaît au plus k fois.

Le développement décimal est alors limité à [latex]k.10^n+n-1[/latex] nombres.

Pour montrer qu'une séquence se répète infiniment souvent, on va commencer par montrer que pour tout N>0 il existe une séquence qui se répète au moins N fois.

Il existe 10^n séquences ordonnées de n chiffres.
Si aucune ne se répète plus de N fois, cela veut dire que pi^2 à au plus (N-1).n.10^n chiffres (principe des tiroirs) et en tout cas un nombre fini de chiffres ce qui n'est pas le cas de pi^2. Donc pour chaque N>0 il existe une séquence qui se répète au moins N fois.

Ceci ne suffit pas à montrer l'énoncé car la séquence qui se répète peut-être différente pour chaque N. Pour répondre à l'énoncé, une étape supplémentaire est nécessaire: comme le nombre de séquences possibles est fini, même si pour chaque N la séquence est différente, on va retrouver pour des N de plus en plus grands une séquence qui se répète.

Il y a moyen d'écrire tout ça mathématiquement mais ça risque d'être un peu laborieux. Je pense que l'idée y est

Soit n donné, il y a un nombre fini de séquences diiférentes de type (C1, C2,..., Cn) (en l'occurence il y en a 10^n). Supposons que toutes ces séquences ne sont présentent qu'un nombre fini de fois (maximisé par p), alors il est impossible de prolonger l'écriture décimale au delà de n * 10^n * p chiffres sans que réapparaisse plus de p fois une séquence. La supposition est donc fausse. Donc une séquence, au moins, apparait une infinité de fois.

rem : le caractère non rationnel ou transcendant du nombre initial n'intervient pas dans la démontrastion.

Mais on s'en fout qu'il n'y est pas de 5 dans la séquence, on peut définir une séquence ou il n'y a pas de 5 par exemple.
Si tu te mets à enlever tout les chiffres alors ca ne sert plus a rien on aura plus un nombre à la fin...
J'ai dis que vu que la suite de chiffre dans la décimal est infini, on peut se permettre d'affirmer qu'il existe une séquence de n chiffres qui se répète "infiniment" souvent (car l'infini c'est 'linfini...). Finalement ce n'est qu'un remaniement de l'énoncé; donc si tu te permets de contredire ceci, tu contredit ton propre énonce. t je vais chercher...