[latex]C_5^3=10[/latex] sous-programmes

Il faut diviser le programme en au moins 10 sous-programmes.

En effet, considérons les 5 ingénieurs I1, I2, I3, I4 et I5 comme des sous-ensembles d'un ensemble total représentant le programme.
Alors à deux ingénieurs différents Ii et Ij, on peut associer S(i,j) l'ensemble complémentaire de l'union Ii avec Ij. S(i,j) représente en fait l'ensemble des sous-programmes manquant à Ii et Ij réunis pour avoir l'ensemble du programme.
Le fait qu'il suffit de n'importe quel groupe de 3 ingénieurs pour avoir le programme en entier implique que les ensembles S(i,j) sont disjoints 2 à 2. Comme il y a 10 (=2 parmi 5) ensembles S(i,j), il y a donc au moins 10 sous-programmes distincts.


Pour montrer que 10 sous-programmes, c'est suffisant, voici un exemple:
On numérote les programmes de 0 à 9.
I1 connait: 0 1 2 3 4 5
I2 connait: 3 4 5 6 7 8
I3 connait: 1 2 5 7 8 9
I4 connait: 0 2 4 6 8 9
I5 connait: 0 1 3 6 7 9

Il faut 10 sous programmes, chaque sous programme étant connu de 3 ingénieurs (3 * 10 = 30) et inconnus des 2 autres (on est sûr alors qu'avec 3 ingénieurs il y en a au moins un qui le connait) et chaque ingénieur connaissant 6 sous programmes (5 * 6 = 30). 

1 sous programme n'est pas suffisant: celui qui peut le faire peut faire tout le programme.

2 sous programmes ne suffisent pas non plus: en effet, il faut être au moins 3 pour réaliser un sous programme (sinon en cas de deux absences, le sous programme ne peut pas être réalisé). Si 3 ingénieurs A,B et C travaillent sur le 1er sous programme, et que D et E travaillent sur le second, ils seront forcément "aidés" par A, B ou C pour être à 3 dessus et dans ce cas cet ingénieur aura travaillé sur tout le programme.

3 sous programmes suffisent par contre. En effet, si A,B et C travaillent sur le sous programme 1; C,D et E sur le sous-programme 2 et enfin A, B et E sur le 3ème sous-programme, alors même en cas de 2 absences simultanées, tous les sous-programmes peuvent avancer et personne ne travaille sur tous les sous-programmes à la fois

Partition d'un ensemble, combinaison de clés... J'ai vraiment du mal avec ce problème.
Après réflexion, je pense que la réponse est 10, le nombre de combinaisons d'une distribution de 3 clés parmi 5 personnes. En distribuant de cette manière 10*3 clés, il semble bien que cela fonctionne, puisque 3 ingés réunis auront forcément chacune des 10 types de clés. Et si j'enlève 1 clé à n'importe lequel d'entre eux, lui et les 2 sans cette clés ne pourront satisfaire les conditions.
Ce n'est pas vraiment une preuve, mais je en trouve rien de mieux.
A+

Une entreprise qui lance un programme extremement sensible; d'où 2 impératifs: le secret et l'efficacité... je dirai ... Apple (et son légendaire culte du scret )