Si je fais confiance au petit tableau Excel que je viens de faire, je dirais 15 jours de pluie. Je lirai avec attention les demonstrations des P2Tiens statisticiens.

Il peut s'attendre à environ 15.6 jours de pluie s'il pleut le premier jour
et 14.0 s'il ne pleut pas le premier jour.
Dans l'incertitude, le rapport [latex]\frac{jours\,de\,pluie}{jours}[/latex] tend rapidement vers [latex]\frac 5 8[/latex],
ce qui conduit à 15 jours de pluie et 9 jours secs.
[TeX]P(pluie, n+1)=\frac 4 5P(pluie,n)+\frac 1 3P(sec,n)[/TeX]
[TeX]P(sec,n+1)=\frac 1 5P(pluie,n)+\frac 2 3P(sec,n)[/TeX][TeX]\binom{pluie}{sec}_{jour\,n+1}=\begin{bmatrix}{\frac 4 5}&{\frac 1 3}\\{\frac 1 5} & \frac2 3\end{bmatrix}^n\binom{pluie}{sec}_{jour\,1}[/TeX]
La matrice se diagonalise aisément pour en trouver les puissances successives.
(valeurs propres -1 et 7/15)
Les paresseux comme moi font faire les calculs par un tableur.

Appelons [latex]p_n[/latex] la probabilité qu'il pleuve le n-ème jour des vacances.

On sait que :
[TeX]p_{n+1}=\frac45p_n+(1-\frac23)(1-p_n)
p_{n+1}=\frac7{15}p_n+\frac13[/TeX][TeX]p_n[/latex] vérifie donc la relation de récurrence suivante :
[latex]p_{n+1}=ap_n+b[/latex] avec [latex]a=\frac7{15}[/latex] et [latex]b=\frac13[/TeX]
Je combine les relations sur les [latex]p_k[/latex] pour calculer [latex]p_n[/latex] :
[TeX]\sum_{k=1}^na^{n-k}p_k=\sum_{k=1}^na^{n-k}(ap_{k-1}+b)
=\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}p_k + b\sum_{k=1}^na^{n-k}[/TeX]
Il ne reste que les termes en [latex]p_n[/latex] et en [latex]p_0[/latex] :
[TeX]p_n=a^np_0+b\sum_{k=0}^{n-1}a^k
p_n=a^np_0+b\frac{1-a^n}{1-a}[/TeX]
La valeur de [latex]p_n[/latex] est donc complètement déterminée par la valeur de [latex]p_0[/latex], qui vaut 1 s'il a plu la veille du début des vacances, 0 sinon (je me place au moment du début des vacances, et non pas maintenant)

Ce qui nous intéresse, c'est le nombre de jours de pluie escomptés. Il correspond à la somme des [latex]p_n[/latex] pour n variant de 1 à 24, le nombre de jours de vacances (c'est en fait une espérance)
[TeX]N=\sum_{k=1}^{24}p_n=p_0\sum_{k=1}^{24}a^k+b\sum_{k=1}^{24}\frac{1-a^k}{1-a}
=p_0a\frac{1-a^{24}}{1-a}+\frac{b}{1-a}\left(24-a\frac{1-a^{24}}{1-a}\right)[/TeX]
Application numérique :
[TeX]N\approx0,87p_0+14,45[/TeX]
On peut escompter entre 14,45 et 15,32 jours de pluie.

On peut arrondir à une quinzaine de jours de pluie sur 24. Pas terrible comme temps

15 jours de pluies ?