Si je fais confiance au petit tableau Excel que je viens de faire, je dirais 15 jours de pluie. Je lirai avec attention les demonstrations des P2Tiens statisticiens.

Il peut s'attendre à environ 15.6 jours de pluie s'il pleut le premier jour
et 14.0 s'il ne pleut pas le premier jour.
Dans l'incertitude, le rapport $\frac{jours\,de\,pluie}{jours}$ tend rapidement vers $\frac 5 8$,
ce qui conduit à 15 jours de pluie et 9 jours secs.
$$P(pluie, n+1)=\frac 4 5P(pluie,n)+\frac 1 3P(sec,n)$$
$$P(sec,n+1)=\frac 1 5P(pluie,n)+\frac 2 3P(sec,n)$$ $$\binom{pluie}{sec}_{jour\,n+1}=\begin{bmatrix}{\frac 4 5}&{\frac 1 3}\\{\frac 1 5} & \frac2 3\end{bmatrix}^n\binom{pluie}{sec}_{jour\,1}$$
La matrice se diagonalise aisément pour en trouver les puissances successives.
(valeurs propres -1 et 7/15)
Les paresseux comme moi font faire les calculs par un tableur.

Appelons $p_n$ la probabilité qu'il pleuve le n-ème jour des vacances.

On sait que :
$$p_{n+1}=\frac45p_n+(1-\frac23)(1-p_n) p_{n+1}=\frac7{15}p_n+\frac13$$ $$p_n[/latex] vérifie donc la relation de récurrence suivante : [latex]p_{n+1}=ap_n+b[/latex] avec [latex]a=\frac7{15}[/latex] et [latex]b=\frac13$$
Je combine les relations sur les $p_k$ pour calculer $p_n$ :
$$\sum_{k=1}^na^{n-k}p_k=\sum_{k=1}^na^{n-k}(ap_{k-1}+b) =\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}p_k + b\sum_{k=1}^na^{n-k}$$
Il ne reste que les termes en $p_n$ et en $p_0$ :
$$p_n=a^np_0+b\sum_{k=0}^{n-1}a^k p_n=a^np_0+b\frac{1-a^n}{1-a}$$
La valeur de $p_n$ est donc complètement déterminée par la valeur de $p_0$, qui vaut 1 s'il a plu la veille du début des vacances, 0 sinon (je me place au moment du début des vacances, et non pas maintenant)

Ce qui nous intéresse, c'est le nombre de jours de pluie escomptés. Il correspond à la somme des $p_n$ pour n variant de 1 à 24, le nombre de jours de vacances (c'est en fait une espérance)
$$N=\sum_{k=1}^{24}p_n=p_0\sum_{k=1}^{24}a^k+b\sum_{k=1}^{24}\frac{1-a^k}{1-a} =p_0a\frac{1-a^{24}}{1-a}+\frac{b}{1-a}\left(24-a\frac{1-a^{24}}{1-a}\right)$$
Application numérique :
$$N\approx0,87p_0+14,45$$
On peut escompter entre 14,45 et 15,32 jours de pluie.

On peut arrondir à une quinzaine de jours de pluie sur 24. Pas terrible comme temps

15 jours de pluies ?