On remarque que BCA mesure 60 degrés (c'est l'angle au centre, le double de ADB).
Alors le secteur est 1/6 du disque, la petite portion quadrillée a pour aire Pi/3-(rac3)/2.

En notant H le point d'intersection de AB et de (L) et O, O' les centres respectifs des deux cercles, on obtient que:

HA^2=R^2-OH^2
DA^2=(R+OH)^2+HA^2
et DA=(R+OH)/cos(30°)

ce qui nous donne que R/OH est solution de X^2-X-1=0 donc
R/OH=phi
et ainsi que l'aire hachurée est égale à 2*acos(phi).

Rebonjour,
S/2 = Aire secteur ACB - Aire triangle ACB

Il faut connaitre l'angle ACB (alors qu'on connait que l'angle ADB): glups !
Soit C' le symétrique de C par rapport à AB.
Le triangle DC'A est isocèle donc ADC' = DAC' et DC'A = pi - 2 ADC = pi - ADB
Or ACD = pi - DC'A et donc ACD = ADB et au final ACB = 2 ADB
Et donc Aire secteur ACB = pi R² ACB / 2pi = R² ADB (ADB exprimé en radians)

Il faut aussi connaitre R-c (c étant la corde) et AB/2 (que j'appelle h): reglups !
La trigo dit: sin(ACB/2) = h/R d'où h = R sin(ADB)
Pythagore dit: R² = (R-c)² + h² d'où R-c = R V(1 - sin²(ADB)) = R cos(ADB)
Et donc Aire triangle ACB = h(R-c) = R² sin(ADB) cos(ADB) = R² sin(2 ADB) / 2

Revenons à nos moutons:
S/2 = R² ADB - R² sin (2 ADB) / 2
Et au final: S = R² [2 ADB - sin (2 ADB)]

AN (comme à l'école): R=1 et ADB=30°=pi/6
S = pi/3 - (V3)/2 = 0,181 env.
Ouf !!!

Re-bonne soirée.
Frank

PS: Ouf parce que les énigmes de SaintPierre vont vraiment crescendo.
Merci pour cette énigme et je n'ai plus faim !!!
Et encore, je me demande si je ne me suis pas planté.

Par trigonométrie du triangle rectangle on trouve AB=1 et donc, ABC est équilatéral.
En calculant l'aire du secteur ABC moins l'aire du triangle ABC, puis en multipliant par 2, j'obtiens : $\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ACB vaut 60°, après ça vient tout seul:

(Pi/3-moi de(3)/2)=0,181