somme P / 2 = somme I+ somme P ,
donc somme I= - somme P /2 ... Qu'est-ce qui cloche avec ce moins ?

C'est pas le truc avec les suites convergentes ou divergentes auquel je ne comprends rien ? Parce que, d'après ce que j'ai compris, ça ne vaut que si l'erreur (le fait d'utiliser 2 fois plus de termes de P que de I ) tend vers zéro à l'infini. Il me semble que ce n'est pas le cas de 1/x.

La série harmonique diverge bel et bien.

Donc

somme P/2 = somme I + Somme P  est faux car on oublie la moitié des nombres pairs dont la somme tend aussi vers l'infini. L'erreur n'est plus négligeable.

On peut raisonner avec un nombre n pair pour comprendre l'approximation :

1/1+1/2+1/3+1/4...+1/n
= 2x (1/2+1/4+1/6....+1/n ) + 2x ( 1/n+2 + 1/n+4...+1/2n )

Avec  les inverses des cubes, cette seconde partie tendait vers 0 avec n tendant vers l'infini, alors que cette fois-ci elle tend vers l'infini.

Même en prenant n aussi grand que l'on veut, il restera toujours une infinité de termes "négligés" mais non négligeables.  Je suis sûr que les mathématiciens du forum trouveront des formules et des termes   plus adéquats pour expliquer ça.

Cette série est divergente.

On ne traîte pas l'infini à coup de "et hop"

Vasimolo

Les séries sont divergentes, on ne peut donc pas sommer sur tous les entiers

Je ne comprends pas. Ce qui cloche, c'est qu'elle est divergente (vers l'infini) et que par conséquent, il y a au moins une des deux sous-série qui tend vers l'infini. Donc, on ne peut pas calculer le rapport qu'il y a entre elles.

Soit [latex]P = \frac12 + \frac14 + \frac16 + \dots = \frac12 \left( 1 + \frac12 + \frac13 + \dots \right)[/latex]

Soit [latex]I = 1 + \frac13 + \frac15 + \dots[/latex]

On a donc [latex]P+I = 1 + \frac12 + \frac13 + \dots = 2 P[/latex], d'où [latex]I=P[/latex].

Bon, qu'est-ce qui cloche, a part que ça me semble bizarre ? Oh tiens : [latex]I-P = ln 2[/latex] d'après http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ … mEntie.htm

Bon... Alors, quoi qu'il se passe ? C'est a cause de la divergence des séries ?

Si j'ai bien compris c'est marrant. On croit montrer à la fois que a=b et a > b. Mais pour a = b, en gros on s'est permis de faire ce genre de déduction erronée :
[TeX]\infty + 1 = \infty + 2 \Rightarrow 1 = 2[/TeX]

Je comprend pas ce qu'il faut regarder.

La fonction inverse étant décroissante, 1/n est toujours supérieur à 1/n+1, que n soit paire ou impaire.
Le tout est de voir qu'on commence la somme à 1 qui est impair. La somme impaire est donc toujours supérieure à la somme pair de même taille (entendre par la que les deux sommes comportent le même nombre de termes).

1 > 1/2
1/3 > 1/4
1/5 > 1/6
...
1/n > 1/n+1

Implique que:

1 > 1/2
1 + 1/3 > 1/2 + 1/4
1 + 1/3 + 1/5 > 1/2 + 1/4 + 1/6
...
1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/n > 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/n+1

Quelque soit n.


Ah oui! J'avais pas suivi le lien de Saint Pierre. =D Et du coup j'ai rien compris à l'énoncé.

P = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ...
I = 1/1 + 1/3 + 1/5 + ...

P = 2 P - I
P = I

^^

Je comprend mieux ton souci mais c'est l'énoncé qui coince. Pas étonnant de tomber sur des bizarrerie quand on joue avec l'infini. Tu compares deux séries qui divergent. J'ai envie de dire que même le problème initial n'avait pas trop de sens.

Les sommes divergent (en relation avec la série harmonique).
Il n'est donc pas valide de "manipuler" les sommes infinies, de faire des operations dessus.
Dit d'une autre façon, on peut faire des opérations sur des sommes partielles mais on ne peut pas passer à la limite comme si celles-ci étaient des nombres...

J'enrage de n'avoir pas plus de temps à consacrer à P2T ces temps-ci...

Je ne comprends pas trop en quoi le sujet pose vraiment souci
La série des inverses est divergente, donc on ne peut pas parler de somme infinie d'inverses. Pour une puissance strictement supérieure à 1, on a convergence, donc on peut écrire une somme infinie ...

Je dois être déformé par ma formation mathématique, et du coup ça ma paraît naturel.
Mais il est vrai que si l'on ne fait pas attention au fait que des sommes infinies existent ou non, on peut vite aboutir à des choses pas très propres

Une démo de quoi ?

Qu'elles divergent ? Ben celle des pairs c'est la moitié de la série harmonique donc ça m'étonnerait qu'elle converge, et l'autre est minorée par la série des inverses de nombres premiers qui diverge aussi, celle-là aussi il serait très étonnant qu'elle converge.

Que ça fait 7 avec des cubes et 1 dans ton cas ? Ben si on note P (resp. I et Q) la somme des inverses des puissances N-ièmes des nombres pairs (resp. impairs et quelconques), on trouve facilement que
P= 1/2^N.Q
  =1/2^N.(P+I),
d'où (2^N - 1)P=I et donc I/P = (2^N - 1)

Mais je crois que tel quel ce calcul n'est licite que dans la mesure où P et I sont sommables, ce qui donne I/P=7 quand N=3, et n'a pas de sens quand N=1 mais donne I/P=1 si on le fait quand même.

Si on le fait plus proprement : soit In (resp. Pn)  la somme des n premiers inverses des nombres pairs (resp. impairs), et H(n) la fonction harmonique

On a In/Pn = [H(2n+1)-(H(n)/2)] / (H(n)/2) = 2H(2n+1)/H(n) - 1 et ce rapport tend vers 1 quand n tend vers l'infini... mais on ne peut pas écrire I/P=1, ni I, ni P n'étant des nombres réels.

C'est vraiment bien foutu  Wolfram Alpha.

Ca marche chez Saint-Pierre parce que la série des inverses des cubes converge ainsi que les sous-séries considérées (sommes des impairs et somme des pairs).
Le raisonnement rigoureux doit être fait sur des sommes partielles (finies) et les égalités écrites sur des sommes finies. Ensuite on passe à la limite de chaque coté de l'égalité.
Le raisonnement rigoureux de passage à la limite est d'établir que la série de chaque côté de l'égalité à une limite et que la limite de la différence vaut 0, ce qui implique la même limite et donc l'égalité des limites.
C'est une forme d'inversion des limites (limite de l'égalité => égalité des limites)