il y a 362880 nombres avec le 1 en premier
Autant avec le 2 en premier : 725760

Ce sera donc un 3

Il y a 40320 possibilités avec 30...  :  766080
31... : 806400
32... : 846720
Oups : il manque 887040
34... : 927360
35... : 967680

de 5040 en 5040 :
360 : 972720
361 : 977760
362 : 982800
364 : 987840
365 : 992880
367 : 997920

de 720 en 720 :
3680 : 998640
3681 : 999360

de 120 en  120 :
36820 : 999480
36821 : 999600
36824 : 999720
36825 : 999840
36827 : 999960

de 24 en 24 :
368290 : 999984

de 6 en 6 :
3682910 : 999990
3682914 : 999996

de3 en 3 : 36829150 : 999999

le suivant est donc :  3682915407 J'espère que je ne me suis pas trompé, j'ai la flemme de recommencer.Si ! je me suis trompé !

Après l'avoir refait, je tombe sur : 3782915406

Enigme intéressante. J'ai déjà du en faire dans le passé parce que ça me rappelle quelque chose mais ça fait plaisir d'y replonger.

On part du plus petit:
1023456789
Sachant que plus on augmente les chiffres de gauche, plus le nombre augmente, pour passer au suivant, on permute les 2 chiffres les plus à droite, puis on joue sur les 3 chiffres les plus à droite, ...

Les 6 premiers nombres sont obtenus par les permutations des 3 derniers chiffres dans l'ordre croissant. 6 puisque 3!=6.
Les 24=4! premiers nombres sont obtenus par permutation des 4 chiffres de droite.
Ainsi, les 362880=9! premiers nombres sont obtenus par permutation des 9 chiffres de droite. Ensuite on passe aux nombres commençant par 2.
Les 362880 suivants commencent par 2 avec les permutations des 9 derniers chiffres, ce qui donne les 725760 premiers nombres.
On voit que 362880*3 est >1000000 donc le nombre cherché est dans la tranche suivante de permutation des 9 derniers chiffres et donc commence par 3. C'est le 1000000-725760=274240ème nombre respectant la même consigne que celui qu'on cherche sauf qu'il s'écrit avec 9 chiffres sans le 3 déja pris.

Le premier nombre s'obtient sans aucune opération de permutation à partir de 1023456789. On cherche donc celui qu'on obtient après 999999 opérations.
On décompose 999999 en factorielles décroissantes en prenant le plus grand coefficient possible à chaque fois (condition pour que le nombre obtenu soit le plus petit possible). A noter: cela donne une autre forme de décomposition des entiers que la décomposition en facteurs premier. A-t-elle les mêmes propriétés (unicité, ...)?

999999=2.9!+6.8!+6.7!+2.6!+5.5!+1.4!+2.3!+1.2!+1.1!
Le premier coefficient est 2. Le premier chiffre est donc le 3ème disponible pour ce premier chiffre. Le 0 n'étant pas possible pour le premier chiffre, c'est donc le 3 (résultat qu'on retrouve).
Ensuite on écrit les chiffres disponibles:
012456789
Et on avance coefficient par coefficient: coefficient de 8!: 6 on prend donc le 7ème chiffre disponible: 7. On écrit le 7: 37 et on barre le 7 de la liste des chiffres disponibles et on continue:
Coefficient de 7!: 6, 7ème chiffre disponible: 8 => 378
Coefficient de 6!: 2, 3ème chiffre disponible: 2 => 3782
...

Et on obtient: 3782915460 qui est validé par la case réponse.

Merci pour cette énigme.

pour chaque chiffre il y a n! possibilité, donc il suffit de compte combien de fois on peut avoir de n! dans ce qui nous reste :
1 000 000 = 2*9! + 274240 donc le 1er nombre est 3 ( 1+ 2 decalages)
274240 = 6 *8! +32320 donc le 2eme chiffre est 7 (0+ 6 decalages + le 3 deja pris)
en procedant de meme on obtient :
3782915460 !

En voilà un problème qu'il est marrant!

D'abord et avant tout, réécrivons un million en facteurs de factorielles:
1 000 000 = 2x9! + 6x8! + 6x7! + 2x6! + 5x5! + 1x4! + 2x3! + 2x2!

Il y aura 9! façons d'écrire un tel nombre commençant par 1 et 9! autres pour les nombres commençant par 2.
Il nous en faut plus que 2x9! mais moins que 3x9!. Donc notre nombre commencera par un 3.
3012456789 étant notre (2x9!+1)ième nombre.

Avec les nombres restants étant 0,1,2,4,5,6,7,8 et 9, et en suivant la même logique que précédemment, le deuxième chiffre du nombre sera le septième de cette liste (6+1 car on a 6x8!)
3701245689 étant notre (2x9!+6x8!+1)ième nombre.

Nous restent maintenant 0,1,2,4,5,6,8,9 et 0. On prends de nouveau le septième (6+1 car on a 6x7!) et ainsi de suite jusqu'à obtenir:
3782915604 qui est... notre 1 000 001ième nombre.

La réponse est donc 3782915460.

42?