sympa en effet
la serie donne donc :
6
-3
-2
9
10
1
2
13
14
5

Soit a,b,c,d,e,f,g,h,i et j les nombres qu'ont choisi les 1O élèves. Alors on a
les 10 équations suivantes
(a+c)/2=1; (b+d)/2=2; (c+e)/2=3; (d+f)/2=4; (e+g)/2=5; (f+h)/2=6; (g+i)/2=7; (h+j)/2=8; (i+a)/2=9 et (b+d)/2=10

d'où
1)a+c=2
2)b+d=4
3)c+e=6
4)d+f=8
5)e+g=10
6)f+h=12
7)g+i=14
8)h+j=16
9)i+a=18
10)j+b=20

Si on fait fait le calcul sur la ligne 9 - la ligne 7 + la ligne 5 - la ligne 3 + la ligne 1 nous donne 2a=18-14+10-6+2=10 d'où a=5; c=-3; e=9; g=1; i=13 et
Si on fait fait le calcul sur la ligne 10 - la ligne 8 + la ligne 6 - la ligne 4 + la ligne 2 nous donne 2b=20-16+12-8+4=12 donc b=6; d=-2; f=10; h=2; j=14

La réponse se trouve en faisant 2 systèmes de 5 équations à 5 inconnus et on trouve ça (avec en orange le nombre choisi par l'élève et en blanc le nombre annoncé à la classe) :

Merci pour cette énigme sympathique .

Les réponses:
Élève 1: 3
Élève 2: -3/2
Élève 3: -1
Élève 4: 9/2
Élève 5: 5
Élève 6: 1/2
Élève 7: 1
Élève 8: 13/2
Élève 9:7
Élève 10:5/2 

Ainsi:
l'élève 1 dira 1 car (5/2)-(3/2)=1
l'élève 2 dira 2 car 3-1=2
l'élève 3 dira 3 car -(3/2)+9/2=3
l'élève 4 dira 4 etc.
l'élève 5 dira 5 etc.
l'élève 6 dira 6 etc.
l'élève 7 dira 7 etc.
l'élève 8 dira 8 etc.
l'élève 9 dira 9 etc.
l'élève 10 dira 10 etc.

Bonjour,

je propose en partant du premier collégien:
6, -3,-2,9,10,1,2,13,14,5
J'ai procédé par tâtonnement en utilisant excel pour faire varier les valeurs. ça a marché, peut-être y a-t-il un procédé plus logique? J'attends les réponses des cracks avec impatience!!
Bonne journée

Oui on peut

Soient $n_1,n2,\dots,n_{10}$ les dix nombres choisis par ces collégiens. Les moyennes nous donnent les dix équations suivantes :
$$\left\{\begin{eqnarray} \dfrac{n_{10}+n_2}{2} & = & 1\\ \dfrac{n_{1}+n_3}{2} & = & 2\\ &\vdots&\\ \dfrac{n_{9}+n_1}{2} & = & 10\\ \end{eqnarray}\right.$$
Ensuite il suffit de former des combinaisons linéaires adéquates. Par exemple :
$L_2-L_4+L_6-L_8+L_{10}$ donne $n_1=2-4+6-8+10=6$.

On obtient ainsi les 10 nombres : 6, -3, -2, 9, 10, 1, 2, 13, 14, 5.

Les nombres choisis : 6, -3, -2, 9, 10, 1, 2, 13, 14 et 5

naturel a écrit:

Les nombres choisis : 5, 6, -3, -2, 9, 10, 1, 2, 13 et 14

pour moi ce serait plutôt relatif

Quitte à prendre des matrices, j'aurais choisi :
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a\\ c\\ e\\ g\\ i\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 8\\ 12\\ 16\\ 20\\ \end{pmatrix}$$
et
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b\\ d\\ f\\ h\\ j\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 10\\ 14\\ 18\\ 2\\ \end{pmatrix}$$

Très très joli, même.