Bonjour

12 à l'air de passer mais on est tellement proche du D=3d qu'il faut vérifier par le calcul

Vasimolo

Il est clair qu'on peut mettre 12 bougies . Je n'ai pas encore essayé 13



Vasimolo

Salut Spirou, et merci pour cette énigme motivante. Elle nous a valu de remplir une bonne moitié de tableau blanc avec un collègue de bureau pendant la pause déjeuner et même un peu après je dois dire.

On a trouvé 12 bougies, avec d'une part, une forme à base de triangles équilatéraux déposés comme cela :

  x x
 x x x
x x x x
 x x x

Je pense que beaucoup de gens vont suivre cette piste, mais voici peut être un peu plus original, en se basant sur un cercle.



construction
A partir d'un cercle de rayon quelconque r et de centre O.
Placer de façon régulière 9 points A à I sur le pourtour du cercle. Les angles AOB, BOC, etc. font chacun 40°.
La plus longue distrance entre deux points est D = AE

Soit d = D/3, plaçons trois points J K et L comme montré sur le dessin, à une distance d de respectivement A et B, D et E, G et H.

mini-preuve

Une petite formule qui va beaucoup servir. Soit un triangle isocèle de côté r, dont les côtés de même longueur forment un angle [latex]\alpha[/latex],  alors le coté opposé a pour longueur [latex]2r.sin(\alpha / 2)[/latex]

L'angle AOE vaut 160° d'où D = 2r.sin(160/2) = 2r.sin(80) = 1,969616
d'où d = 0,656539r

Reste à vérifier que les autres distances sont bien comprises entre d et D, en particulier d1 et d2.

d1 = 2r.sin(40/2) = 0,68404 r > d

Quant à d2, on remarque que A-J-K-E forme un chemin de A à E donc la somme des distances AJ + JK + KE >= AE
soit encore : d + d2 + d >= D
or D = 3d, d'où d+d2+d >= 3d d'où d2 >= d

Les autres mesures semblent sans conteste comprises entre d et D.

une dernière réflexion

Au final, les deux solutions sont assez proches, dans le cercle, les points DKLH par exemple sont presque alignés, et on peut plus ou moins les superposer à la ligne "x x x x"  de la première solution.

Je pense qu'on peut faire mieux (mais je n'ai pas eu de réponse de Spirou à propos de cette option)
si son gâteau est une pièce montée.

@aunryz Intéressant le deuxième niveau, ca pourait passer.

On pourrait aussi ajouter des étages en dessous en creusant le gâteau :-) mais ca commence à être abusé )))

Je ne trouve pas ces prolongements très passionnants . Le problème initial est sans doute en 2D , on peut le passer en 3D avec la même problématique , on n'est pas très loin du remplissage d'un cercle ou d'une sphère par des disques ou des boules de rayon donné .

Une autre question , Spirou est à un autre étage

Vasimolo