Sans regarder vos recherches, voilà à quoi j'arrive. Le pb posé
revient à rechercher 4 triangles rectangles distincts :
- dont tous les côtés soient des entiers
- de même hypothénuse (pour obtenir le losange central).

Excel m'a trouvé un lonnngue liste de triplets (a;b;c) tels que a²+b²=c².
Une fois la liste triée par hypothénuses croissantes, et en (bricolant) rajoutant
des triangles semblables basés sur les triplets (3;4;5) et (5;12;13),
le plus petit périmètre que j'ai trouvé s'obtient avec les triplets suivants :
(16;63;65)    (25;60;65)    (33;56;65)    (39;52;65)

Périmètre du polygone = 16+63+33+56+52+39+60+25 = 344

Ensuite, vérification graphique avec WinGéométrie Plane :