Un truc qui marche bien: on étudie les écarts, puis les écarts des écarts, puis...
Si on arrive à une constante, on a affaire à une fonction polynomiale d'ordre le nombre de séries nécessaires pour y parvenir.

ATTENTION à ceux qui veulent utiliser la méthode des différences finies: Il faut savoir "a priori" que la fonction est polynomiale par un autre moyen, soit l'énoncé, soit autre chose.
De plus il faut aussi connaitre "a priori" le degré (maximal) du polynome et partir de D+1 nombres pour calculer les écarts.

Sinon en effet, on peut toujours imaginer une fonction de N dans N de ce genre:
f(n)=P(n)+n(n-1)(n-2)...(n-N)e(n).
Cette fonction se confond avec le polynome P pour les valeurs de n de 0 à N et une analyse des écarts nous ferait dire qu'elle est polynomiale...

Simple, rapide, efficace et classe.

Pour ceux qui veulent creuser un peu, cette méthode s'appelle la méthode des différences finies et est parfois considérée comme une "dérivée discrète": (f(n+1)-f(n))/(n+1 - n) à comparer à (f(x+h)-f(x))/(x+h-x). Lorsque la "dérivée discrète" n-ième est constante, la suite (le polynôme "discret") est de degré n...

Et pour ceux qui n'ont pas peur de ressortir en Chine en creusant encore plus: http://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rence_finie

MthS-MlndN a écrit:

3) réécrire le tout pour avoir "un coefficient fois la somme des [latex]i^2[/latex]" + "un coefficient fois la somme des [latex]i[/latex]" :

[latex]S_n = \sum_{j=1}^n \frac{j^2+j}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n j^2 + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n j[/latex]

Bon alors là, C'est quoi cette histoire de coefficient ?
Quel est le but ?

OK pour la première ("on va faire la somme des résultats de la fonction
dont le j est augmenté de 1 à chaque pas" : c'est exactement ça, et on indique juste en-dessous et au-dessus du symbole de la somme le nombre de départ et le nombre de fin).



Pour votre deuxième question (puisque vous vouvoyez, je ne vais pas vous tutoyer, ce serait irrévérencieux) : la raison pour laquelle je développe l'expression est qu'il y a des formules qui existent pour calculer la somme des entiers de 1 a n et pour la somme des carrés des entiers de 1 a n.

Je peux donc développer l'intérieur de la somme, puis la "décomposer", ou la "scinder", je ne sais plus comment on dit.

Je vais reprendre plus en détail :

Si j'écris :
[TeX]S_n = \sum_{j=1}^n \frac{j^2+j}{2}[/TeX]
Ca va me donner quelque chose comme ça :
[TeX]\frac{1^2+1}{2}
+ \frac{2^2+2}{2}
+ \dots
+ \frac{(n-1)^2+n-1}{2}
+ \frac{n^2+n}{2}[/TeX]
On ne voit pas grand-chose a faire pour simplifier cette somme, quand on la regarde comme ça.

C'est pourquoi on va commencer par développer le terme général de la somme (la fonction de j, dont on calcule ensuite la somme des valeurs pour j=1, j=2, ..., j=n-1, j=n) :
[TeX]\frac{j^2+j}{2} = \frac{1}{2} j^2 + \frac{1}{2} j[/TeX]
Ca ira mieux maintenant, car voici ce que donne le calcul de [latex]S_n[/latex] :
[TeX]\frac{1}{2} \times 1^2 + \frac{1}{2} \times 1
+ \frac{1}{2} \times 2^2 + \frac{1}{2} \times 2
+ \dots
+ \frac{1}{2} (n-1)^2 + \frac{1}{2} (n-1)
+ \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{2} n[/TeX]
Et la, on voit qu'il suffit de réorganiser un peu le tout pour obtenir :
[TeX]\frac{1}{2} \left( 1 + 2 + \dots + (n-1) + n \right) + \frac{1}{2} \left( 1^2 + 2^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2 \right)[/TeX]
Et on connait déja la valeur de la somme des n premiers entiers, ainsi que la valeur de la somme de leurs carrés (voir le lien Wikipedia que je t'ai donné, bien que la formule de la somme des n premiers entiers se retrouve facilement).

boubouain a écrit:

Si j'ai bien compris,
[TeX]u_n = 1+\sum_{i=1}^n \(i+1)[/TeX]
C'est équivalent à 1+(1+1)+(2+1)+(3+1)+(4+1)+(5+1)+..(n+1) ?


Non, cela ne doit pas être bon !
Je voulais faire la suite 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

Et là le premier résultat est 3.

Un départ à zero est'il autorisé ?
Dans ce cas cela fonctionne:
[TeX]u_n = \sum_{i=0}^n \(i+1)[/TeX]
Est-ce que je peux ensuite continuer en faisant ceci:
[TeX]S_n = \sum_{i=0}^n \frac{i^2+i}{i}[/TeX]
Vous allez me dire non car on ne peut pas diviser par zero !

Donc pour cette série, s(n)=n(n+1)/2

C'est vrai que j'ai fait compliqué pour rien !

ah ! ok je vais essayer de retenir

Bonjour. C'est ici, le gérontopic ?

eh!!
j'suis pas encore en maison de retraite !

MthS-MlndN a écrit:

Bonjour. C'est ici, le gérontopic ?

Eh oui ! La jeunesse est une caractéristique que l'on perd chaque jour un peu plus ! Et nous sommes tous concernés !

Il faut développer n(n+1)(n+2)/6 = nnn/6 +nn/2 + n/3.
(nnn = n au cube et nn = n au carré, mais je ne sais pas les écrire)
Donc, ta formule est bien correcte et tu es sur la bonne voie.
Tu sais déjà exprimer, en fonction de n, la somme des n premiers entiers et la somme des n premiers carrés: il reste à trouver la formule pour la somme des n premiers cubes.
A+
Frank