T'es pas loin, mais... je ne suis pas convaincu non plus.

Bonjour,

Tout d'abord, il est évident que le courant va dans le sens du viaduc des Cailles vers le méandre de Lovagny, sinon mon canoë n'aurait pas pu revenir tout seul.
Soient maintenant vc et vn les vitesses par rapport à l'eau respectivement du canoë ("actif" = en pagayant) et de moi (en nageant) et soit ve la vitesse de l'eau (ou celle du canoë "passif").

La première contrainte se traduit par:
5d / (vc-ve) + 5d (vc+ve) = 2d / (vn-ve) + 2d / (vn+ve) qui se simplifie en:
5vc (vn²-ve²) = 2vn (vc²-ve²) pour donner:
ve² = vc vn (2vc-5vn) / (2vn-5vc)
La deuxième contrainte se traduit en:
1h = d / (vc-ve) et 2h = d / ve - d / (vn+ve) qui se simplifie en:
vn / (vn+ve) = 2ve / (vc-ve) pour donner:
2 ve² + 3 vn ve - vn vc = 0
Et je cherche en fait le temps gagné x:
x = d / (vn+ve) - d / (vc+ve) soit x / d = 1 / (vn+ve) - 1 / (vc+ve)

La deuxième contrainte est une équation du second degré en ve de discrimant D:
D = 9 vn² + 8 vn vc donc: ve = (-3 vn + VD) / 4 (j'élimine le solution négative)
que je réinjecte dans la première contrainte en isolant VD (mon objectif est de s'affranchir de la racine carrée, génante pour la suite).
Je trouve 3 VD = 9 vn + 4 vc - 8 vc (2vc-5vn) / (2vn-5vc)
Je vous fais grâce des triturages d'équations (j'ai recommencé trois fois !!!)
Et je trouve finalement l'équation du troisième degré suivante:
10 vc vn³ - 13 vc² vn² - 14 vc³ vn + 9 vc² ² = 0
(vc² ² est vc puissance 4 que je ne sais pas écrire ici)
Par chance, je repère deux racines évidentes (une aurait suffi) en vn: - vc et vc / 2
Mon équation se simplifie donc en: (vn + vc) (2 vn - vc) (5 vn - 9 vc) = 0
J'élimine la solution vn = - vc car vn et vc sont de même signe.
J'élimine aussi la solution vn = 9/5 vc car elle conduit à ve < 0, ce qui n'est pas possible compte tenu du sens du courant.

Le reste vient tout seul: vc = 2 vn qui donne ve = vn / 2 et finalement:
x/d = (4/15) / vn avec d/vn = 3/2 (grâce aux équations du départ)
Finalement x = 6/15 d'heure soit x = 24 mn

Bonne journée.
Frank

Edit: Je suis revenu terminer cette difficile énigme qui m'a demandé beaucoup de triturages d'équations (j'ai recommencé trois fois !!!) et j'espère que je ne me suis pas planté.

La réponse est 2h24min si on compte le temps d'arrivée du canoë, 24min sinon :-)
Par contre j'ai des calculs horribles !

Tu nages 2 fois plus vite que le courant, et rame 4 fois plus vite que le courant.

Dur dur !

Je montre mon raisonnement en éspérant que l'on puisse m'aider à progresser :

notons [latex]d [/latex]la distance du méandre au viaduc, un aller-retour vaut donc [latex]2d[/latex] ;

notons [latex]v_c , v_n , v_f[/latex] les vitesses respectives (constantes) du sportif en canoé, à la nage , et du fleuve.

Si l'on fait 5 aller retour  en canoé dans le même temps que 2 à la nage, alors :
[TeX]5(\frac{1}{v_c+v_f} + \frac{1}{v_c-v_f}) = 2(\frac{1}{v_n+v_f} + \frac{1}{v_n-v_f})[/TeX]
ce qui équivaut à :
[TeX]\frac{5 v_c}{(v_c+v_f)(v_c-v_f)}= \frac{2 v_n}{(v_n+v_f)(v_n-v_f)}[/TeX]
Le sportif a mis une heure pour remonter les gorges en canoé :
[TeX]d=(v_c-v_f)[/TeX]
Le canoé, seul est arrivé deux heures après le sportif à la nage :
[TeX]2+ \frac{d}{v_n+v_f} = \frac{d}{v_f}[/TeX]
donc
[TeX]2+ \frac{v_c-v_f}{v_n+v_f} = \frac{v_c-v_f}{v_f}[/TeX]
Or, on nous demande de calculer le temps que le sportif aurait pu gagner en descendant en canoé plutôt qu'à la nage, c'est à dire la valeur suivante :
[TeX](\frac{d}{v_f+v_n}-\frac{d}{v_f+v_c})[/TeX]
c'est à dire :
[TeX](\frac{v_c-v_f}{v_f+v_n}-\frac{v_c-v_f}{v_f+v_c})[/TeX]
Et là, j'ai beau combiner tout ça dans tous les sens, je n'arrive pas à arranger les choses pour qu'elles puissent m'aider à déterminer l'intérêt d'acheter un canoé lorsque l'on est pressé !

Bonjour,
Ma réponse est donnée dans l'édit ci-dessus.
J'espère que je ne me suis pas planté.
Frank

J'ai bien mené mes calculs jusqu'au bout, ce qui n'empêche que je les ai trouvés fastidieux. Mais j'ai dû mal me débrouiller, car je me retrouver avec une équation de degré 3, à 3 racines évidentes, dont la valeur que je cherchais (les autres étant négatives).
Et j'ai surtout dû m'y reprendre à 3 fois

Je n'ai pas posté de réponse car je me sentais pas de poser tous mes calculs en Latex, grosse flemme

Je vois que celle-ci vous a fait suer...

Soit u la vitesse en canoë, v la vitesse à la nage, c celle du courant, et x le temps
d’un retour en canoë (vitesse u+c), y celui d’un aller à la nage (vitesse v-c), t celui du retour du canoë au fil du courant (vitesse c) : puisque le temps de l’aller en canoë est d’une heure (vitesse u-c) et celui du retour à la nage est t-2 (vitesse v+c), nous avons donc :

u-c=x(u+c)=y(v-c)=(t-2)(v+c)=ct.

Ces relations sont homogènes en u, v et c, et nous pouvons prendre comme unité la vitesse du courant c=1.

On tire alors u=t+1, x=t/(t+2), v=2/(t-2), y=t(t-2)/(4-t).

On a de plus la relation 5(x+1)=2(y+t-2) qui donne 5(t+1)(4-t)=4(t²-4), ou 9t²-15t-36=0 qui a pour solution t=3, d’où x=0,6, et t-2-x=0,4.

J'aurais donc gagné 0,4 h, soit 24 mn en rentrant en canoë.

Pas vraiment de calculs fastidieux les amis !

Eh oui, j'ai les boules d'avoir passé autant de temps à triturer des équations dans tous les sens. Quand on voit la solution, on se dit "Ah mais oui mais c'est bien sur !", un vrai déclic du type "Ha-ha" (cf. Martin Gardner).

Pas mal, mais le "Ces relations sont homogènes en u, v et c, et nous pouvons prendre comme unité la vitesse du courant c=1." m'intrigue, je comprends mais je ne vois pas ce que cela signifie mathématiquement.
Si quelqu'un pouvais m'éclairer.
Merci.

Ah oui, merci Rivas.