Bonjour,

Soit n le nombre de jours de récolte de Papy Georges.
Le nombre de jours de récolte de son petit-fils Matthieu est n-7.
Papy Georges aura récolté n(n+1)/2 champignons et Matthieu (n-7)(n-6)/2.
Ensemble, ils auront récolté n(n+1)/2 + (n-7)(n-6)/2 = n²-6n+21 champignons.

Question 1
n²-6n+21=836 donne n²-6n-815=0
Le discriminant 36+4.815=3296 n'est pas un carré parfait.
Donc Matthieu s'est trompé. Mais Papy Georges calcule vite.

Question 2
Si n=16, alors n²-6n+21 vaut 181

Bonne journée.
Frank

Mathieu a cueilli des champignons pendant N jours, et son papy pendant N+7 jours.

Ils ont donc cueilli à eux deux :
[TeX]\sum_{i=1}^N i + \sum_{i=1}^{N+7} i = \frac{N(N+1)+(N+7)(N+8)}{2} = N^2+8N+28[/TeX]
Avec N=9, ça donne 181 champignons. Voici pour la deuxième question. Je ne vois pas trop pour la première...

Pour la première question, la somme des champignons sera impair.

Pour la deuxième, papy a ramassé 16 jours de champignon et mathieu 9 jours.
donc ça fait (16+1)*16/2 + (1+9)*9/2 = 181 champignons !

Chalut à tous,

Georges ramasse 1 champignon de plus par jour,
soit g(j)=g(j-1)+1, et g(1)=1.
Idem pour Matthieu : soit m(j)=m(j-1)+1, et m(1)=1
Le jour j, ils ont la même récolte, donc g(j)=m(j).

À partir d'une semaine de récolte, leur récolte totale est :
S(j) =g(j)+m(j-7), avec n>7

g est une suite arithmétique, de raison 1, de somme j(j+1)/2.
Idem pour m.  Donc S(j)=j(j+1)/2+(j-7)(j-6)/2=j²-6j+21

M a compté 836 champignons, donc on aurait j²-6j+21=836
or delta =36+4*1*815 =3296
57²<3296<58², 3296 n'est pas un carré parfait,
donc j ne sera pas un entier parfait, c'est impossible,
M s'est trompé (il a dû goûter des champis vénéneux en route),
et entre guillemets, G calcule drôlement vite  :^)

b/
Si Georges a récolté pdt 16j, alors j=16,
et S(16) =16²-6*16+21 =256-96+21 =181.  Une belle poêlée quand même!

Par principe, une tite vérif dans Excel :
S(8)=37  S(9)=48  S(10)=61  S(11)=76  S(12)=93  S(13)=112 
S(14)=133  S(15)=156  S(16)=181  S(17)=208  S(18)=237 
S(19)=268  S(20)=301  S(21)=336  S(22)=373  S(23)=412 
S(24)=453  S(25)=496  S(26)=541  S(27)=588  S(28)=637 
S(29)=688  S(30)=741  S(31)=796  S(32)=853  S(33)=912

Merci ô St-Pierre ^!^

Ah oui !! Les champignons étaient halucinogènes !!
C'est toujours mieux que des champignons vénéneux.

Étant donné qu'ils ont travaillé un nombre entier de jours, il faut que la solution de l'équation ci-dessus avec le nombre de champis égal à 836 soit un nombre entier. Or ce n'est pas le cas! Par conséquent Matthieu a fait une erreur de comptage.

Je peux me tromper, mais je crois que 836 est un nombre entier

Il faut que la solution de N²+8N+28=836 soit un nombre entier... Si on commence à confondre "second membre d'une équation" et "solution d'une équation", on ne va pas aller bien loin

Je suis néanmoins légèrement déçu de cette solution, qui implique que notre papy cueilleur de champignons est également capable, soit de dresser mentalement la table des valeurs d'un polynôme du second degré appliqué aux entiers naturels successifs, soit (encore mieux) de résoudre de tête une équation du second degré. Rien que le calcul du discriminant impliquerait entre autres, en imaginant qu'il connaisse déjà ce satané polynôme, le calcul de la racine carrée d'un nombre à trois chiffres, ou tout du moins la vérification que ce nombre (8^2+4*808, rien que ça) n'est pas un carré d'entier. Balaise, le sucreur de fraises !

Mouais... L'énoncé nous laisse imaginer que le papy a quand même la réponse très rapide, et s'il a déjà fait au moins le calcul de la fonction (à mon avis une condition sine qua non pour pouvoir valider ou invalider le résultat du comptage de son petit-fils en moins de dix secondes, à moins que ce ne soit ce qu'on appelle communément "un p**ain d'autiste" ), c'est qu'il est vachement plus tordu que l'immense majorité des papys foulant actuellement la surface de la Terre.

Ce que j'entends par cette "déception", c'est que je m'attendais à une astuce de calcul, une factorisation magique du polynôme qui donne une condition simple à vérifier de tête, un modulo quelque-chose indépendant de N, je sais pas... Je suis sûr qu'on aurait pu trouver ce genre d'astuces avec un autre décalage de jours entre Papy Werthers et Bob La Fouine.

Tu supposes la non-indépendance des deux questions, là, non ?

C'est plus une forme d'humour que la revendication d'une solution
En fait il ne faudrait pas donner toute la seconde partie mais uniquement la premier partie, comme a priori une erreur c'est plus subtil que (181 -> 836) il faudrait supposer que ce n'est pas loin et comme papy sait combien de jours dure la cueillette commune et peut faire le raisonnement par parité vu ci dessus ca peut confirmer que le plus proche avec N=25 convient.   

J'ai oublié de vous dire que l'ainée est blonde...

En bidouillant, oui.

Je garde N comme nombre de jours de cueillette commune (le papy continue sur les jours (N+1) à (N+7), donc).

On peut facilement vérifier au cas par cas : si N est multiple de 3, le nombre de champis cueillis les N premiers jours par les deux zigotos est multiple de 3, et le nombre de champis cueillis par le papy est congru à 1 modulo 3 (car constitués de nombres de la forme 3k+1, 3k+2,...,3k+7).

Si N est congru à 1 modulo 3, le nombre de champis des N premiers jours est congru à 2 modulo 3, et le nombre de champis cueillis en solo par le papy sur les sept jours suivants est congru à 2 modulo 3 pour le même genre de raisons.

Si N est congru à 2 modulo 3, le nombre de champis des N premiers jours est multiple de 3 et le papy cueillera, en plus, un nombre de champis multiple de 3.

J'obtiens au final que le nombre total de champignons ainsi cueillis n'est jamais congru à 2 modulo 3, et ce sans avoir sorti mes formules de somme et mes études de polynômes.

C'est quand même super vicelard

MthS-MlndN : C'est juste mais il faut quand même vérifier qu'à la fonction qui donne le nombre de champignons il correspond bien un endomorphisme sur le groupe modulo 3.
Par exemple la fonction :
f(0) = 0 ,
f(1) = 0 ,
f(2) = 0 ,
f(3) = 1 ,
f(n) = 0 si n>3
n'est pas transposable modulo 3.
Mais là je chipote vraiment