Enigme Taupins au bizutage 1/2 @ Prise2Tete

Franky1103 · #1

Bonjour,
Voici donc ma première énigme, qui servira surtout à me tester sur cet exercice.
Pour le bizutage, des taupins font la tournée des commercants.
Le premier récolte x euros, le second 3 de moins, le troisième encore 3 de moins, et ainsi de suite, jusqu'au dernier taupin. Ils ont reçu tous ensemble 5141 euros.
Combien de taupins y avait t-il ? Et combien d'euros a ramené le dernier taupin ?
La case réponse validera sous la forme A-B (par exemple 34-12, avec un tiret entre).
Bonne soirée.
Frank

gwen27 · #2

Il y en a 53 , le premier ayant gagné 175€ et le dernier 19€

Sauf que la case réponse ne valide pas 156

OK, je ne validais pas ce qu'il fallait..

sinon, il peut y en avoir 2 et le dernier ramasse 2569€

Franky1103 · #3

Réponse correcte de gwen27.
La case validera A-B, par exemple 34-12 (avec un tiret entre).

MthS-MlndN · #4

Les A taupins ont reçu x, x-3, x-6, ..., jusqu'à x-3A+3. La somme totale reçue par les taupins est donc :
[TeX]\sum_{i=0}^{A-1} ( x-3i ) = Ax-3 \sum_{i=0}^{A-1} i = Ax-\frac{3 A(A-1)}{2} = A \left( x-\frac{3 (A-1)}{2}\right) = 5141[/TeX]
A est entier, et je vais m'attendre à ce que x le soit aussi (non précisé par l'énoncé, mais ça m'a l'air d'aller de soi, non ?). Pour revenir sur des facteurs entiers (après avoir fait l'erreur stupide de considérer que [latex]x-\frac{3 (A-1)}{2}[/latex] était entier, et déduit que le dernier taupin se faisait voler un euro), je multiplie par deux :
[TeX]A \left( 2 x- 3 (A-1) \right) = 10282[/TeX]
Comment écrire 10282 comme un produit de deux entiers ?
[TeX]10282=2*5141=53*194=97*106[/TeX]
Six possibilités, donc, pour le couple [latex]\left( A,2 x- 3 (A-1) \right)[/latex]. Contrainte : la somme reçue par le dernier taupin, qui vaut [latex]x - 3A+3[/latex], est strictement positive, d'où [latex]x>3A-3[/latex], d'où [latex]2 x- 3 (A-1)>3A-3[/latex]. L'élément de droite du couple [latex]\left( A,2 x- 3 (A-1) \right)[/latex]vaut donc au bas mot le triple de celui de gauche.

Reste deux possibilités, dont une plutôt débile : [latex]A=2[/latex]. L'énoncé précise qu'ils sont au moins trois.

[latex]A=53[/latex] nous donne [latex]x=175[/latex]. Cela nous fait 53 taupins, le dernier recevant 19 euros à peine, le pauvre.

mitsuidewi · #5

Code:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int somme(int a, int b);

int main()
{
    int y;
    int x;
    for(x=1; x<=500; x++)
    {
     for(y=1; y<=100; y++)
     {
      if((y*(x+3)-3*somme(1,y)) == 5141)
       {
        printf("%d  %d\n", x, y);
       }   
     }
    }
     return 0;
}

int somme(int a, int b)
{
    int c=0;
    while(a<=b)
    {
     c=c+a;
     a=a+1;
    }
    return c;
}

Dans le code:
x -> montant du 1er taupin
y -> nombre de taupins

L'exécution me ramène à 2 possibilités :

1) x=175, y=53, ce qui donne A=53, B=19

2) x=197, y=97, ce qui me donne A=97, B=-91

On retient donc la 1ere !

NickoGecko · #6

Bonjour

Je raisonne à l'envers sur les "manques à gagner" de 3 euros, en incrémentant le rang 1 à partir du dernier taupin, en considérant qu'il ne rapporte rien ...

L'avant dernier rapporte 3 euros
L'avant-avant dernier rapporte 6 euros

rang n=1 : 0
rang n=2 : 3
rang n=3 : 6
rang n=4 : 9
....

Le cumulé de cette suite au rang n vaut [n(n-1)/2]*3

on veut que [latex]\frac{(5141-[n(n-1)/2]*3 } {n} [/latex]soit entier

ce qui s'obtient pour n=53, effectifs de la prépa ...
Le résultat vaut 19 qui la somme en euros collectée par le dernier taupin.

La case réponse valide "53-19"

(Le premier taupin a ramené 156+19 = 175 euros)

Merci, à bientôt,

nodgim · #7

Est ce vraiment une enigme ? Application directe du n(n+1)/2.......

scarta · #8

Techniquement, il peut y avoir 1, 2 ou 59 taupins; le dernier ramenant respectivement 5141, 2569 ou 19 euros.

Ca correspond aux solutions entières de A[3A-3+2B] = 10282
A peut valoir 1, 2, 53, 97, 106, 194, 5141 ou 10282
Du coup, B vaudrait respectivement 5141, 2569, 19, -91, -109, -263, -7709 et -15421. Comme B est positif, ça ne nous laisse que 3 solutions

TiLapiot · #9

En tâtons, mon Excel a trouvé x=174.1355932

Avant, j'avais essayé une autre piste, avec la série arithmétique, de raison -3,
dont la somme [latex]S_n = n[x+(x-3n)]/2 = 5141[/latex]€
mais après... euh...

Nicouj · #10

5141 = x + (x-3) + (x-6) + ... + (x - 3*(n-1))
= n*x -3*(n-1)*n/2
= n * (x-3*(n-1)/2)
= 53 * 97

2 possibilités : n = 53 ou n = 97.
Si n= 97 des taupins y sont allés de leur poche :S

Pour n = 53, le dernier a gagné 19

BilouDH · #11

Bonjour,

Enigme très sympathique.

Notons A le nombre de taupins et M l'argent moyen que chaque taupin a ramené:
[TeX]5141=A*M[/latex] or 5141=53*97 donc nous avons deux couples de solutions (A,M)=(53,97) ou (A,M)=(97,53)
or comme dans tous les cas A est impair [latex]M=x-3*\frac{A-1}{2}\[/latex] et le dernier aura ramené [latex]L=x-3*(A-1)=M-3*\frac{A-1}{2}\[/TeX]
1er cas:
A=53, M=97 et L=19 euros
2ème cas:
A=97, M=53 et L=-91 euros (ce serait un vilain bizutage!)

La réponse est donc 53-19.
Bonne journée

golgot59 · #12

Salut !

Alors : x + (x-3) + (x-2*3) + ... + (x-(n-1)*3) = 5141, sachant qu'il y a n taupin

Donc nx - 3*somme(1;n-1) = 5141
nx - 3*n*(n-1)/2 = 5141
2nx - 3n² + 3n = 10282
3n² - (2x+3)n + 10282 = 0

Delta = (2x+3)² - 4*3*10282 = (2x+3)² - 123384

x est positif et delta doit l'être aussi ainsi qu'être le carré d'un entier

On obtient la première valeur pour (2x+3)²>racine(123384), c'est à dire pour x=175

On trouve delta = 35² puis n=[(2*175+3)-35]/(2*3) = 53 taupins

Le dernier taupin a donc ramené 175-52*3 = 175-156 = 19 euros

FRiZMOUT · #13

53-19.

Très sympathique petit exercice dont je zappe honteusement la démonstration qui sera bien mieux faite par mes collègues ci-dessus .

Par contre, à mon sens, rien n'interdit dans l'énoncé que les sommes récoltées aient des centimes. Par exemple, avec 20 taupins et une première somme de 285.55 €, il me semble que ça marche très bien aussi.

bidipe · #14

Si le dernier taupin rapporte x €, et qu'il y a n taupins :
Le premier a rapporté x +(n-1)*3 €

D'où la somme de ce qu'ils ont tous rapporté peut s'écrire :
nx + [3*n(n-1)/2] = 5147

nx + (3n²-3n)/2 = 5147

n(x+3n/2- 3/2) = 53*97

Pour n = 53 taupins, x= 97 - 159/2 +3/2 = 19 €

Il y avait donc 53 taupins, le dernier a rapporté 19 €

franck9525 · #15

soit n taupins,
x+(x-3)+... + n-ieme x - (n-1)3 = n x -3(1+2+...+n-1)=-3/2n^2+n(x+3/2)=5141
il faut resoudre cette equation dans N ... quand j'aurais un excel sous la main

Edit, avec Excel:
53 taupins et 19 euros récoltés par le dernier.

godisdead · #16

Comme je n'avais pas envie de faire un long calcul, j'ai cherché la faille dans l'enoncé.
Il y avait 2 taupins, le dernier ayant ramené 2569

Franky1103 · #17

Bonjour,
Il y a beaucoup de bonnes réponses; l'énigme aura donc été trop facile.
Deux remarques reviennent fréquemment sur l'énoncé:
1°) Le nombre d'euros est entier: j'aurais pu (dû ?) le préciser,
2°) Il y a au moins 3 taupins: l'énoncé parlait du troisième (ouf: sauvé).
@nodgim: ma prochaine énigme sera sans le moindre calcul: c'est promis
@TiLapiot: il doit y avoir une petite coquille dans dans ton expression de Sn
@franck9525: encore un petit effort: tu dois pouvoir factoriser
@godisdead: s'il n'y en avait pas au moins trois, ta réponse conviendrait
La leçon que je tire de ma première énigme est qu'on n'est jamais trop précis dans la rédaction de l'énoncé.
Merci pour les nombreuses réponses.
Bonne journée.
Frank

halloduda · #18

53-19

Si le dernier de x taupins récolte y euros, la total récolté sera
y+(y+3)+ ... + [y+(x-1)x3]=5141, soit
x(y+3/2(x-1))=5141=53x97
D'où x=53, y=97=3x26=19

Bamby2 · #19

la formule s'ecrit :
avec k, le nombre de taupins, et x la valeur ramener par le dernier:
x + (x+3) + (x+6) + ....+ (x+3(k-1))

en factorisant on obtient :
k(x+3(k-1)/2) = 5141
on a deux cas principal:
k est pair, k est impair.

si k est impair alors la formule entre parenthèse est entière,
on sait donc que k divise 5141, or 5141 = 53*97*1
on a alors trois possibilités :
k = 97 et x = -91
k = 53 et x = 19
k = 1 et x = 5141

si k est pair, la formule se réécrit (avec k=2i)
i ( 2x + 6i - 3) = 5141
idem sait que i divise 5141, or 5141 = 53*97*1
i=1, k=2, x = 2569
i= 53 k = 106, x = -109
i= 97 k 194, x = -263

on sait que l'on a plus de 2 possibilités, et que la valeur du dernier est positive, on a donc une solution unique.
53-19

freedomAO · #20

53-19
trouvez en 5 min grace a excel

scarta · #21

Allez, une démo propre (l'autre était un peu trop expéditive).
Il y a N taupins, le dernier ramène R.
Un taupin i ramène R + 3*(N-i); i étant compris entre 1 et N. Si on somme cette expression, on trouve un total de R*N + 3*N(N-1)/2
Du coup, 2RN + 3N^2 -3N = 10282
On factorise: N(3N+2R-3) = 10282
N est entier: c'est donc un diviseur de 10282; et 3N+2R-3 est son codiviseur.
10282 = 2*53*97 admet 2^3 = 8 diviseurs; il suffit de tester ces 8 possibilités pour trouver le résultat

rivas · #22

Bonjour,

Merci de proposer une énigme pour notre plaisir.
Même s'il y a déjà beaucoup de réponses, je vais y aller de la mienne aussi pour encourager les poseurs d'énigme.
S'il y a n taupins, la récolte vaut:
[TeX]\sum_{k=0}^{n-1}x-3k=nx-3.\dfrac{n(n-1)}2[/TeX]
On sait que cette valeur vaut 5141€ et que n est entier.
x est un nombre de centimes donc y=100x est un entier.

On a donc: [latex]n.\dfrac{y}{100}-3.\dfrac{n(n-1)}2=5141[/latex]

Soit [latex]2ny-300n(n-1)=1028200[/latex] c'est-à-dire: [latex]n(2y-300*(n-1))=1028200[/latex].

Or 1028200=2^3 * 5^2 * 53 * 97.
1028200 a donc 4*3*2*2=48 diviseurs.
En affectant chaque diviseur à n, on trouve une valeur de y. Celle-ci doit être entière.

On trouve 5 solutions:
53 taupins, 175 € pour le premier, 19€ pour le dernier
5 taupins, 1034,20 € pour le premier, 1022,20 € pour le dernier
10 taupins, 527,60 € pour le premier, 500,60 € pour le dernier
25 taupins, 241,64 € pour le premier, 169,64 € pour le dernier
50 taupins, 176,32 € pour le premier, 29,32 € pour le dernier

Solutions oubliées dans mon premier post:
20 taupins, 285,55 € pour le premier, 228,55 € pour le dernier
4 taupins, 1289,75 € pour le premier, 1280,75 € pour le dernier

Une seule ne fournit que des nombres entiers d'euros: la première qui est validée par la case réponse (53-19) mais les 4 autres me semblent valides.

Merci à toi pour cette énigme.

[EDIT] Petite erreur ci-dessus, on trouve 7 solutions, j'en avais oublié 2 (dont celle de FRiZMOUT qui m'a mis sur la piste de mon erreur)

scrablor · #23

5141 = 53 x 97 (deux facteurs premiers)
n fois la moyenne des sommes recueillies vaut 5141
n>2 oblige une moyenne supérieure à l'effectif n
Donc n=53 avec des sommes de 19 € à 175 € (97 € de moyenne)

Franky1103 · #24

Et voilà la fin de ma première énigme.
Au départ, comme l'a fait bidipe (entre autres), je pensais à un produit de facteurs égal à un produit de nombres premiers (A x B = 53 x 97), où la solution serait donnée par (A ou B = 53) et (B ou A = 97).
Mais certains ont "bêtement" utilisé Excel, ce qui n'était d'ailleurs pas interdit dans le texte et ce qui était donc parfaitement légitime.
A bientôt pour une seconde énigme pour fêter mon 500è message.
Bonne soirée.
Frank

mitsuidewi · #25

Je suis le seul à avoir programmé... honte sur moi ! après avoir posé le problème je m'étais dit que c'était bien plus facile de réfléchir à un programme que de calculer la réponse !
Je plaide coupable !

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#1 - 30-10-2011 19:20:05

taupins ay bizutage

#0 Pub

#2 - 30-10-2011 20:06:55

Tauipns au bizutage

#3 - 30-10-2011 20:13:34

Taupins aau bizutage

#4 - 30-10-2011 21:03:47

Tupins au bizutage

#5 - 30-10-2011 21:23:19

taupins au bizutafe

Code:

#6 - 31-10-2011 07:51:14

Taupins au bizutagee

#7 - 31-10-2011 07:53:03

taupins au bozutage

#8 - 31-10-2011 11:24:34

taupins au bizutagz

#9 - 31-10-2011 14:26:37

taupins au bizytage

#10 - 31-10-2011 15:09:51

Taupins au bizutagge

#11 - 31-10-2011 15:20:56

taupins au buzutage

#12 - 31-10-2011 17:33:56

taupins au bizurage

#13 - 31-10-2011 19:22:21

Taupins au bziutage

#14 - 31-10-2011 23:05:48

Taupin sau bizutage

#15 - 01-11-2011 00:23:05

taupins zu bizutage

#16 - 01-11-2011 00:45:51

Tauupins au bizutage

#17 - 01-11-2011 11:52:13

taupibs au bizutage

#18 - 01-11-2011 17:17:34

Taupins a bizutage

#19 - 02-11-2011 00:34:13

taupins au buzutage

#20 - 02-11-2011 00:40:19

Taupinss au bizutage

#21 - 02-11-2011 10:56:13

Taupins au biztuage

#22 - 02-11-2011 11:53:05

taypins au bizutage

#23 - 02-11-2011 12:56:34

Taupins a ubizutage

#24 - 02-11-2011 20:28:22

Taaupins au bizutage

#25 - 02-11-2011 20:42:31

Taupins au bizuutage

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